1 Riduzione a scala e soluzioni

Per un sistema Ax=bA\mathbf x=\mathbf b con nn incognite, il teorema di Rouché–Capelli fornisce i criteri ∃x∈Rn: Ax=b  ⟺  rg(A)=rg(A∣b),∃!x∈Rn: Ax=b  ⟺  rg(A)=rg(A∣b)=n.\begin{aligned} \exists\mathbf x\in\mathbb R^n:\ A\mathbf x=\mathbf b &\iff\mathop{\mathrm{rg}}(A)=\mathop{\mathrm{rg}}(A\mid\mathbf b),\\ \exists!\mathbf x\in\mathbb R^n:\ A\mathbf x=\mathbf b &\iff\mathop{\mathrm{rg}}(A)=\mathop{\mathrm{rg}}(A\mid\mathbf b)=n. \end{aligned} Il simbolo ∃!\exists! significa «esiste un unico». Le operazioni elementari sulle righe conservano l’insieme delle soluzioni; le frecce tra matrici indicano tali operazioni.

La riduzione della matrice completa conduce a [111105−4−20−5420−1084]→ R3←R3+R2,  R4←R4+2R2 [111105−4−200000000].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\0&5&-4&-2\\0&-5&4&2\\0&-10&8&4 \end{array}\right]\egroup \xrightarrow{\ R_3\gets R_3+R_2,\;R_4\gets R_4+2R_2\ } \bgroup \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\0&5&-4&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{array}\right]\egroup . Il sistema equivalente è {x1+x2+x3=1,5x2−4x3=−2.\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1,\\5x_2-4x_3=-2. \end{cases} Ponendo x3=tx_3=t, si ottiene x2=−25+45t,x1=1−x2−t=75−95t.x_2=-\frac25+\frac45t, \qquad x_1=1-x_2-t=\frac75-\frac95t.x2=−25+45t,x1=1−x2−t=75−95t.\begin{gathered}x_2=-\frac25+\frac45t,\\[0.5em]x_1=1-x_2-t=\frac75-\frac95t.\end{gathered} Pertanto le soluzioni sono {x1=75−95t,x2=−25+45t,x3=t,t∈R.\boxed{\begin{cases} x_1=\dfrac75-\dfrac95t,\\ x_2=-\dfrac25+\dfrac45t,\\ x_3=t, \end{cases}\quad t\in\mathbb R.}

1.1 Soluzione particolare

Una soluzione particolare si ottiene assegnando un valore al parametro che compare nella soluzione generale. Per t=0t=0: (x1,x2,x3)=(75,−25,0).(x_1,x_2,x_3)=\left(\frac75,-\frac25,0\right). Se il sistema è omogeneo, la soluzione banale è una soluzione particolare.

2 Metodo di Gauss–Jordan

2.1 Esempio

Consideriamo {x+z=1,2x+y=0,2x+z=1.Ac=[101121002011].\begin{cases} x+z=1,\\2x+y=0,\\2x+z=1. \end{cases} \qquad A_c=\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\2&1&0&0\\2&0&1&1\end{array}\right]\egroup . La riduzione a scala dà Ac→ R2←R2−2R1,  R3←R3−2R1 [101101−2−200−1−1].A_c\xrightarrow{\ R_2\gets R_2-2R_1,\;R_3\gets R_3-2R_1\ } \bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&-2&-2\\0&0&-1&-1\end{array}\right]\egroup . Poiché rg(A)=rg(Ac)=3\mathop{\mathrm{rg}}(A)=\mathop{\mathrm{rg}}(A_c)=3, il sistema è compatibile e ha una sola soluzione. Il metodo di Gauss–Jordan prosegue annullando i termini sopra i pivot: [101101−2−200−1−1]→ R1←R1+R3,  R2←R2−2R3 [1000010000−1−1].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&-2&-2\\0&0&-1&-1\end{array}\right]\egroup \xrightarrow{\ R_1\gets R_1+R_3,\;R_2\gets R_2-2R_3\ } \bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&-1\end{array}\right]\egroup . Dividendo la terza riga per il suo pivot: [100001000011]x=0,y=0,z=1.\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{array}\right]\egroup \qquad\boxed{x=0,\quad y=0,\quad z=1.} Il metodo di Gauss–Jordan non richiede la sostituzione all’indietro: dopo la riduzione a scala, si annullano i termini sopra i pivot.

Definizione 1 (Matrice diagonale). Una matrice diagonale è una matrice quadrata i cui elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli.

Definizione 2 (Matrice identità). La matrice identità è una matrice diagonale con tutti gli elementi della diagonale principale uguali a 11.

Quando la matrice dei coefficienti diventa l’identità, l’ultima colonna fornisce direttamente la soluzione del sistema.

2.2 Confronto dei procedimenti

  1. Gauss: riduzione a scala e sostituzione all’indietro.

  2. Gauss–Jordan: riduzione a scala e annullamento dei termini sopra i pivot.

2.3 Due sistemi con gli stessi coefficienti

Consideriamo i sistemi {2x+y+z=1,2x=1,4x+2y+6z=1,{2x+y+z=2,2x=1,4x+2y+6z=3.\begin{cases}2x+y+z=1,\\2x=1,\\4x+2y+6z=1,\end{cases} \qquad \begin{cases}2x+y+z=2,\\2x=1,\\4x+2y+6z=3.\end{cases} I coefficienti sono gli stessi, mentre cambiano i termini noti. Possiamo applicare le medesime operazioni a entrambe le colonne: [211122001142613]→ R2←R2−R1,  R3←R3−2R1 [211120−1−10−1004−1−1].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|cc}2&1&1&1&2\\2&0&0&1&1\\4&2&6&1&3\end{array}\right]\egroup \xrightarrow{\ R_2\gets R_2-R_1,\;R_3\gets R_3-2R_1\ } \bgroup \left[\begin{array}{ccc|cc}2&1&1&1&2\\0&-1&-1&0&-1\\0&0&4&-1&-1\end{array}\right]\egroup . La matrice dei coefficienti ha rango 33: entrambi i sistemi sono compatibili e hanno una sola soluzione. Con Gauss occorrerebbero due sostituzioni all’indietro; con Gauss–Jordan proseguiamo insieme: [211120−1−10−1004−1−1]→ R1←−4R1+R3,  R2←4R2+R3 [−8−40−5−90−40−1−5004−1−1].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|cc}2&1&1&1&2\\0&-1&-1&0&-1\\0&0&4&-1&-1\end{array}\right]\egroup \xrightarrow{\ R_1\gets-4R_1+R_3,\;R_2\gets 4R_2+R_3\ } \bgroup \left[\begin{array}{ccc|cc}-8&-4&0&-5&-9\\0&-4&0&-1&-5\\0&0&4&-1&-1\end{array}\right]\egroup . Ora R1←R2−R1R_1\gets R_2-R_1, quindi dividiamo ogni riga per il suo pivot: [800440−40−1−5004−1−1]⟶[10012120101454001−14−14].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|cc}8&0&0&4&4\\0&-4&0&-1&-5\\0&0&4&-1&-1\end{array}\right]\egroup \longrightarrow \bgroup \left[\begin{array}{ccc|cc}1&0&0&\frac12&\frac12\\0&1&0&\frac14&\frac54\\0&0&1&-\frac14&-\frac14\end{array}\right]\egroup . Le due soluzioni sono rispettivamente (12,14,−14),(12,54,−14).\boxed{\left(\frac12,\frac14,-\frac14\right)},\qquad \boxed{\left(\frac12,\frac54,-\frac14\right)}.(12,14,−14),(12,54,−14).\begin{gathered}\boxed{\left(\frac12,\frac14,-\frac14\right)},\\[0.5em]\boxed{\left(\frac12,\frac54,-\frac14\right)}.\end{gathered}

3 Sistemi parametrici

3.1 Primo sistema

Discutiamo compatibilità e soluzioni al variare di k∈Rk\in\mathbb R: {x+y+(k−2)z=2,2x+2y+6z=2k−6,2x+(k−2)y−z=1.\begin{cases}x+y+(k-2)z=2,\\2x+2y+6z=2k-6,\\2x+(k-2)y-z=1.\end{cases} La matrice completa e la sua riduzione sono [11k−222262k−62k−2−11]→ R2←R2−2R1,  R3←R3−2R1 [11k−220010−2k2k−100k−43−2k−3].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k-2&2\\2&2&6&2k-6\\2&k-2&-1&1\end{array}\right]\egroup \xrightarrow{\ R_2\gets R_2-2R_1,\;R_3\gets R_3-2R_1\ } \bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k-2&2\\0&0&10-2k&2k-10\\0&k-4&3-2k&-3\end{array}\right]\egroup . Scambiando R2R_2 e R3R_3: [11k−220k−43−2k−30010−2k2k−10].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k-2&2\\0&k-4&3-2k&-3\\0&0&10-2k&2k-10\end{array}\right]\egroup . Occorre distinguere k=4k=4, k=5k=5 e k≠4,5k\ne4,5.

Caso 1: k=4k=4

[112200−5−3002−2]→ R3←R3+25R2 [112200−5−3000−165].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\0&0&-5&-3\\0&0&2&-2\end{array}\right]\egroup \xrightarrow{\ R_3\gets R_3+\frac 25R_2\ } \bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\0&0&-5&-3\\0&0&0&-\frac{16}{5}\end{array}\right]\egroup . Dunque rg(A)=2\mathop{\mathrm{rg}}(A)=2 e rg(Ac)=3\mathop{\mathrm{rg}}(A_c)=3: il sistema è incompatibile.

Caso 2: k=5k=5

[113201−7−30000].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&3&2\\0&1&-7&-3\\0&0&0&0\end{array}\right]\egroup . I ranghi sono entrambi 22 e vi è una variabile libera. Ponendo z=tz=t: {x=5−10t,y=−3+7t,z=t,t∈R.\boxed{\begin{cases}x=5-10t,\\y=-3+7t,\\z=t,\end{cases}\quad t\in\mathbb R.}

Caso 3: k≠4,5k\ne4,5

I tre pivot 11, k−4k-4 e 10−2k10-2k sono non nulli. Pertanto rg(A)=rg(Ac)=3\mathop{\mathrm{rg}}(A)=\mathop{\mathrm{rg}}(A_c)=3 e la soluzione è unica. Per sostituzione all’indietro: (10−2k)z=2k−10  ⟹  z=−1,(k−4)y+(3−2k)(−1)=−3  ⟹  y=−2kk−4,x+y+(k−2)(−1)=2  ⟹  x=k2−2kk−4.\begin{aligned} (10-2k)z&=2k-10 &&\implies z=-1,\\ (k-4)y+(3-2k)(-1)&=-3 &&\implies y=-\frac{2k}{k-4},\\ x+y+(k-2)(-1)&=2 &&\implies x=\frac{k^2-2k}{k-4}. \end{aligned} (x,y,z)=(k2−2kk−4,−2kk−4,−1).\boxed{(x,y,z)=\left(\frac{k^2-2k}{k-4},-\frac{2k}{k-4},-1\right).} Il parametro kk è fissato nel singolo sistema: a valori diversi di kk corrispondono sistemi diversi e, in questo caso, soluzioni diverse.

3.2 Secondo sistema

{(k+1)x−ky−z=1,y+(k+1)z=1,2x+z=0,k∈R.\begin{cases}(k+1)x-ky-z=1,\\y+(k+1)z=1,\\2x+z=0,\end{cases}\qquad k\in\mathbb R. Per evitare di dividere per k+1k+1, che può essere nullo, scambiamo la prima e la terza riga: [k+1−k−1101k+112010]→ R1↔R3 [201001k+11k+1−k−11].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}k+1&-k&-1&1\\0&1&k+1&1\\2&0&1&0\end{array}\right]\egroup \xrightarrow{\ R_1\leftrightarrow R_3\ } \bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}2&0&1&0\\0&1&k+1&1\\k+1&-k&-1&1\end{array}\right]\egroup . Il pivot 22 è sempre non nullo. Applichiamo R3←R3−k+12R1R_3\gets R_3-\frac{k+1}{2}R_1, poi R3←R3+kR2R_3\gets R_3+kR_2: [201001k+110−k−k+321]⟶[201001k+11002k2+k−32k+1].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}2&0&1&0\\0&1&k+1&1\\0&-k&-\frac{k+3}{2}&1\end{array}\right]\egroup \longrightarrow \bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}2&0&1&0\\0&1&k+1&1\\0&0&\frac{2k^2+k-3}{2}&k+1\end{array}\right]\egroup . Poiché 2k2+k−32=(2k+3)(k−1)2,\frac{2k^2+k-3}{2}=\frac{(2k+3)(k-1)}{2}, si distinguono k=1k=1, k=−32k=-\frac32 e i restanti valori.

Caso 1: k=1k=1

[201001210002].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}2&0&1&0\\0&1&2&1\\0&0&0&2\end{array}\right]\egroup . Si ha rg(A)=2\mathop{\mathrm{rg}}(A)=2 e rg(Ac)=3\mathop{\mathrm{rg}}(A_c)=3: il sistema è incompatibile.

Caso 2: k=−32k=-\frac32

[201001−121000−12].\bgroup \left[\begin{array}{ccc|c}2&0&1&0\\0&1&-\frac12&1\\0&0&0&-\frac12\end{array}\right]\egroup . Anche qui rg(A)=2\mathop{\mathrm{rg}}(A)=2 e rg(Ac)=3\mathop{\mathrm{rg}}(A_c)=3: il sistema è incompatibile.

Caso 3: k≠1,−32k\ne1,-\frac32

I tre pivot sono non nulli, quindi rg(A)=rg(Ac)=3\mathop{\mathrm{rg}}(A)=\mathop{\mathrm{rg}}(A_c)=3: la soluzione è unica. z=2(k+1)(2k+3)(k−1),y=1−(k+1)z=−3k−5(2k+3)(k−1),x=−z2=−k+1(2k+3)(k−1).\begin{aligned} z&=\frac{2(k+1)}{(2k+3)(k-1)},\\ y&=1-(k+1)z=\frac{-3k-5}{(2k+3)(k-1)},\\ x&=-\frac z2=-\frac{k+1}{(2k+3)(k-1)}. \end{aligned} (x,y,z)=(−k+1(2k+3)(k−1),−3k+5(2k+3)(k−1),2(k+1)(2k+3)(k−1)).\boxed{(x,y,z)=\left(-\frac{k+1}{(2k+3)(k-1)}, -\frac{3k+5}{(2k+3)(k-1)}, \frac{2(k+1)}{(2k+3)(k-1)}\right).}