33:T20ab,Derivate Continuità, calcolo delle derivate e regole di derivazione Legame tra derivabilità e continuità Teorema 1. Se una funzione f è derivabile in x₀, allora è continua in x₀. In simboli, f derivabile in x₀ ⟹ f continua in x₀. L’implicazione inversa non vale in generale: f(x) = |x| è continua in 0 ma non è derivabile in 0. Non si può quindi sostituire ⟹ con ⇔. Proof. Per x ≠ x₀, si può scrivere $$f(x)-f(x_0) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,(x-x_0).$$ Poiché f è derivabile in x₀, il rapporto incrementale tende al numero reale f^(′)(x₀). Pertanto $$\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr) = \underbrace{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }_{f'(x_0)} \underbrace{\lim_{x\to x_0}(x-x_0)}_{0} =0.$$ Ne segue che lim_(x → x₀)f(x) = f(x₀), ossia f è continua in x₀. ◻ Osservazione 1. Consideriamo la funzione $$f(x)= \begin{cases} 2, & x\leq 1,\\ 3, & x>1. \end{cases}$$ image Nel punto x₀ = 1 si ha f(1) = 2. I limiti laterali del rapporto incrementale sono $$\begin{align*} \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} &= \lim_{x\to1^+}\frac{3-2}{x-1} = \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1} =+\infty,\\ \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} &= \lim_{x\to1^-}\frac{2-2}{x-1} =0. \end{align*}$$ Poiché i due limiti laterali sono diversi, il limite del rapporto incrementale non esiste. La funzione, quindi, non è derivabile in x₀ = 1. Osservazione 2. Dal punto di vista geometrico, per x → 1⁺ la retta secante passante per (1, 2) e (x, 3) tende a disporsi verticalmente: il suo coefficiente angolare tende a +∞. Per x → 1⁻, invece, la secante rimane parallela all’asse delle ascisse e ha coefficiente angolare nullo. Calcolo delle derivate Funzione costante Sia f(x) = c, con c ∈ ℝ. Per ogni x₀ ∈ ℝ, $$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}\frac{c-c}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}0 =0.$$ Quindi $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}c=0}\endgroup .$$ Funzione identità Sia f(x) = x. Si ha $$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}1 =1.$$ Pertanto $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}x=1}\endgroup .$$ Funzione f(x) = ax Sia f(x) = ax, con a ∈ ℝ. Allora $$\begin{align*} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{ax-ax_0}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{a(x-x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}a =a. \end{align*}$$ Dunque $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}(ax)=a}\endgroup .$$ Funzione quadrato Sia f(x) = x². Scomponendo la differenza di quadrati, $$\begin{align*} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0}(x+x_0) =2x_0. \end{align*}$$ Quindi $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}x^2=2x}\endgroup .$$ Funzione cubo Sia f(x) = x³. Utilizzando la scomposizione x³ − x₀³ = (x − x₀)(x² + xx₀ + x₀²), si ottiene $$\begin{align*} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0}(x^2+xx_0+x_0^2) =3x_0^2. \end{align*}$$ Pertanto $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}x^3=3x^2}\endgroup .$$ Osservazione 3. Per n ∈ ℕ, con n ≥ 1, la scomposizione x^(n) − x₀^(n) = (x − x₀)(x^(n − 1) + x^(n − 2)x₀ + ⋯ + xx₀^(n − 2) + x₀^(n − 1)) permette di ottenere $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}}\endgroup .$$ Funzione reciproca Sia $$f(x)=x^{-1}=\frac1x, \qquad x\neq0.$$ Per x₀ ≠ 0, $$\begin{align*} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0} \frac{\frac1x-\frac1{x_0}}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{x_0-x}{xx_0(x-x_0)}\\ &= \lim_{x\to x_0}\left(-\frac1{xx_0}\right) = -\frac1{x_0^2}. \end{align*}$$ Quindi $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}x^{-1} =-x^{-2} =-\frac 1{x^2} }\endgroup .$$ Radice quadrata Sia $$f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}.$$ Per x₀ > 0, razionalizzando il numeratore si ottiene $$\begin{align*} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &= \lim_{x\to x_0}\frac1{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} = \frac1{2\sqrt{x_0}}. \end{align*}$$ Pertanto, per x > 0, $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{x} =\frac 1{2\sqrt{x}} =\frac 12x^{-1/2} }\endgroup .$$ Logaritmo naturale Sia f(x) = log x, con x > 0, dove log indica il logaritmo naturale. Ponendo h = x − x₀, il rapporto incrementale assume la forma $$f'(x_0) = \lim_{h\to0} \frac{\log(x_0+h)-\log x_0}{h}.$$ Dalle proprietà dei logaritmi, $$\frac{\log(x_0+h)-\log x_0}{h} = \frac1h\log\left(1+\frac{h}{x_0}\right).$$ Inoltre, $$\frac1h\log\left(1+\frac{h}{x_0}\right) = \frac1{x_0} \log\left[ \left(1+\frac{h}{x_0}\right)^{x_0/h} \right].$$ Poiché $$\lim_{h\to0} \left(1+\frac{h}{x_0}\right)^{x_0/h} =e,$$ segue che $$f'(x_0)=\frac1{x_0}\log e=\frac1{x_0}.$$ Dunque $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\log x=\frac 1x}\endgroup , \qquad x>0.$$ Funzione esponenziale Sia f(x) = e^(x). Si ha $$\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{e^xe^h-e^x}{h}\\ &= e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h} =e^x. \end{align*}$$ Quindi $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}e^x=e^x}\endgroup .$$ Funzione seno Sia f(x) = sin x. Utilizzando la formula di addizione, $$\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \left[ \sin x\,\frac{\cos h-1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \right]. \end{align*}$$ Poiché $$\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$$ e $$\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h} = -\lim_{h\to0} \left( h\,\frac{1-\cos h}{h^2} \right) =0,$$ si conclude che f^(′)(x) = sin x ⋅ 0 + cos x ⋅ 1 = cos x. Pertanto $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x}\endgroup .$$ Funzione coseno Sia f(x) = cos x. Dalla formula di addizione, $$\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \left[ \cos x\,\frac{\cos h-1}{h} - \sin x\,\frac{\sin h}{h} \right]\\ &= \cos x\cdot0-\sin x\cdot1 =-\sin x. \end{align*}$$ Quindi $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x}\endgroup .$$ Regole di derivazione Derivata della somma Teorema 2. Se f e g sono derivabili in x₀, allora la funzione k(x) = f(x) + g(x) è derivabile in x₀ e vale $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle k'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)}\endgroup .$$ Proof. Il rapporto incrementale di k si può scrivere come $$\begin{align*} \frac{k(x)-k(x_0)}{x-x_0} &= \frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0}\\ &= \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}. \end{align*}$$ Passando al limite per x → x₀, si ottiene k^(′)(x₀) = f^(′)(x₀) + g^(′)(x₀). ◻ Derivata del prodotto Teorema 3. Se f e g sono derivabili in x₀, allora la funzione k(x) = f(x)g(x) è derivabile in x₀ e vale $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle k'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) }\endgroup .$$ Proof. Aggiungendo e sottraendo f(x)g(x₀) al numeratore, si ottiene $$\begin{align*} \frac{k(x)-k(x_0)}{x-x_0} &= \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}\\ &= \frac{ f(x)g(x)-f(x)g(x_0) +f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0) }{x-x_0}\\ &= f(x)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} + g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \end{align*}$$ Poiché f è derivabile in x₀, è anche continua in x₀; dunque f(x) → f(x₀). Passando al limite, k^(′)(x₀) = f(x₀)g^(′)(x₀) + g(x₀)f^(′)(x₀). ◻ Esempio 1. Siano f(x) = log x, g(x) = x² + 3x, x > 0. Applicando la regola di derivazione del prodotto, $$\begin{align*} \frac{d}{dx}\bigl[\log x\,(x^2+3x)\bigr] &= \frac1x(x^2+3x)+\log x\,(2x+3). \end{align*}$$ Derivata del prodotto per una costante Teorema 4. Sia a ∈ ℝ. Se f è derivabile in x₀, allora k(x) = af(x) è derivabile in x₀ e vale $$% \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle k'(x_0)=af'(x_0)}\endgroup .$$ Proof. Si ha $$\begin{align*} k'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{k(x)-k(x_0)}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{af(x)-af(x_0)}{x-x_0}\\ &= a\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =af'(x_0). \end{align*}$$ ◻34:T1edf,Derivazione della funzione composta Teorema 1 (Regola della catena). Sia g derivabile in x₀ e sia f derivabile in y₀ = g(x₀). Supponiamo che la funzione composta h(x) = f(g(x)), h = f ∘ g, sia definita in un intorno di x₀. Allora h è derivabile in x₀ e $$\boxed{h'(x_0)=f'(g(x_0))\,g'(x_0).}$$ Proof. Poniamo y₀ = g(x₀) e consideriamo il rapporto incrementale esteso $$A(y)= \begin{cases} \dfrac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}, & y\ne y_0,\\[6pt] f'(y_0), & y=y_0. \end{cases}$$ Per la derivabilità di f in y₀, si ha A(y) → f^(′)(y₀) per y → y₀. Inoltre, g è continua in x₀, poiché è derivabile; pertanto g(x) → g(x₀) = y₀ per x → x₀. Per x ≠ x₀ possiamo dunque scrivere $$\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} = A(g(x))\,\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}.$$ Questa identità vale anche quando g(x) = g(x₀), perché entrambi i membri sono nulli. Passando al limite, h^(′)(x₀) = f^(′)(y₀) g^(′)(x₀) = f^(′)(g(x₀)) g^(′)(x₀). ◻ Esempio: composizione con il seno Siano f(x) = sin x e g(x) = x² + 3x + 2. La funzione composta è h(x) = sin (x² + 3x + 2). Applicando la regola della catena, si ottiene $$\boxed{h'(x)=\cos(x^2+3x+2)\,(2x+3).}$$ Derivazione di un quoziente Teorema 2 (Regola del quoziente). Siano f e g derivabili in x₀, con g(x₀) ≠ 0. Allora la funzione $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$ è derivabile in x₀ e $$\boxed{h'(x_0)= \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}.}$$ Proof. Poiché g è continua in x₀ e g(x₀) ≠ 0, il denominatore non si annulla in un opportuno intorno di x₀. Scriviamo $$h(x)=f(x)\,k(g(x)),\qquad k(t)=\frac1t.$$ Essendo k^(′)(t) = −1/t², per la regola della catena si ha $$(k\circ g)'(x_0) =k'(g(x_0))\,g'(x_0) =-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}.$$ Applicando la regola di derivazione del prodotto, $$\begin{align*} h'(x_0) &=f'(x_0)\,k(g(x_0))+f(x_0)\,(k\circ g)'(x_0)\\ &=\frac{f'(x_0)}{g(x_0)} -\frac{f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}\\ &=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}. \end{align*}$$ ◻ Esempio: derivata della tangente Per x ≠ π/2 + kπ, con k ∈ ℤ, si ha $$f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$ Pertanto $$\begin{align*} f'(x) &=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}\\ &=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} =\frac1{\cos^2x} =1+\tan^2x. \end{align*}$$ Quindi $$\boxed{(\tan x)'=\frac1{\cos^2x}=1+\tan^2x.}$$ Derivazione della funzione inversa Teorema 3 (Derivata della funzione inversa). Sia f: I → J una funzione invertibile tra intervalli, e sia g = f⁻¹ la sua inversa. Sia x₀ un punto interno di J. Se g è continua in x₀, f è derivabile in g(x₀) e f^(′)(g(x₀)) ≠ 0, allora g è derivabile in x₀ e $$\boxed{g'(x_0)=\frac1{f'(g(x_0))}.}$$ Proof. Poiché f(g(x)) = x, ponendo y = g(x) e y₀ = g(x₀) si ottiene, per x ≠ x₀, $$\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} =\frac{y-y_0}{f(y)-f(y_0)} =\frac1{\dfrac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}}.$$ Per la continuità di g, da x → x₀ segue y → y₀. Il denominatore tende a f^(′)(y₀) ≠ 0, dunque $$g'(x_0)=\frac1{f'(y_0)}=\frac1{f'(g(x_0))}.$$ La formula corrisponde all’identità ottenuta derivando f(g(x)) = x: f^(′)(g(x₀)) g^(′)(x₀) = 1. ◻ Esempio: derivata dell’arcotangente Consideriamo $$f(t)=\tan t,\qquad -\frac\pi2 0, vale la regola (x^(q))^(′) = q x^(q − 1). Studio in x₀ = 0. Il rapporto incrementale è $$\frac{h(x)-h(0)}{x-0} =\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} =\frac1{\sqrt[3]{x}},\qquad x\ne 0.$$ I suoi limiti laterali sono $$\lim_{x\to 0^+}\frac1{\sqrt[3]{x}}=+\infty, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac1{\sqrt[3]{x}}=-\infty.$$ Pertanto h non è derivabile in 0. Esempio: prodotto con una funzione composta Consideriamo $$f(x)=\sin(\sqrt[3]{x})\,\sin x.$$ Caso x ≠ 0. Applicando la regola del prodotto e quella della catena, $$\begin{align*} f'(x) &=\bigl(\sin(\sqrt[3]{x})\bigr)'\sin x +\sin(\sqrt[3]{x})\cos x\\ &=\cos(\sqrt[3]{x})\,(\sqrt[3]{x})'\sin x +\sin(\sqrt[3]{x})\cos x\\ &=\frac{\cos(\sqrt[3]{x})\sin x}{3\sqrt[3]{x^2}} +\sin(\sqrt[3]{x})\cos x. \end{align*}$$ Questa formula vale soltanto per x ≠ 0. Caso x₀ = 0. Poiché f(0) = 0, si calcola direttamente $$\begin{align*} f'(0) &=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ &=\lim_{x\to 0}\sin(\sqrt[3]{x})\,\frac{\sin x}{x} =0\cdot 1=0. \end{align*}$$ La funzione è dunque derivabile anche in 0, con $$\boxed{f'(0)=0.}$$ Derivate laterali e punti di non derivabilità Definizione 4 (Derivata destra e derivata sinistra). La derivata destra di f in x₀ è $$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ quando il limite esiste ed è finito. La derivata sinistra è $$f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ quando il limite esiste ed è finito. Se f è definita in un intorno di x₀, la derivabilità si caratterizza con f derivabile in x₀ ⇔ ∃L ∈ ℝ: f₊^(′)(x₀) = f⁻^(′)(x₀) = L. Occorrono entrambe le derivate laterali, finite e uguali. Quando questi limiti sono infiniti, le notazioni f₊^(′)(x₀) e f⁻^(′)(x₀) vengono usate in senso esteso; non indicano derivate finite. Esempio: limiti laterali infiniti in 0 Per $f(x)=\sqrt[3]{x}$, si ha f₊^(′)(0) = +∞, f⁻^(′)(0) = +∞. Per $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$, si ha f₊^(′)(0) = +∞, f⁻^(′)(0) = −∞. Radice cubica: flesso a tangente verticale Il grafico di $f(x)=\sqrt[3]{x}$ presenta nell’origine un punto di flesso a tangente verticale. La tangente è la retta x = 0, che non si può rappresentare nella forma y = mx + q. Radice cubica del quadrato: cuspide Il grafico di $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ presenta nell’origine un punto di cuspide: il rapporto incrementale tende a −∞ da sinistra e a +∞ da destra. Valore assoluto: punto angoloso Consideriamo $$f(x)=|x|= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}$$ Per x ≠ 0 la derivata è $$f'(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases}$$ In 0 si deve invece studiare il rapporto incrementale: $$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{|x|}{x},\qquad x\ne 0.$$ Si ottiene $$\begin{align*} f'_+(0)&=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=1,\\ f'_-(0)&=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=-1. \end{align*}$$ Poiché le due derivate laterali sono diverse, f^(′)(0) non esiste: l’origine è un punto angoloso. Esempio conclusivo: funzione definita a tratti Consideriamo la funzione $$f(x)= \begin{cases} x^2-x, & x\le 0,\\ x^2+x, & x>0. \end{cases}$$ Per x ≠ 0, derivando separatamente le due espressioni, $$\boxed{ f'(x)= \begin{cases} 2x-1, & x<0,\\ 2x+1, & x>0. \end{cases}}$$35:I[6869,[],"IconMark"] 30:["$","$L31","/materie/analisi1/sezioni/derivate/",{"notes":[{"id":"analisi1/derivate-teorema-lagrange","slug":"derivate-teorema-lagrange","subject":"analisi1","subjectName":"Analisi Matematica 1","sectionPath":"derivate","sectionName":"Derivate","title":"Derivate, estremi e teorema di Lagrange","description":"Derivabilità, estremi locali e assoluti, teorema di Fermat e di Lagrange, con esempi e relazioni tra derivata e monotonia.","readingMinutes":7,"text":"$32","passages":[{"id":"esempi-di-derivabilità-nellorigine","text":"1 Esempi di derivabilità nell’origine","section":"1 Esempi di derivabilità nell’origine"},{"id":"search-passage-1","text":"Esempio 1. 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Nel grafico sono indicati un punto di minimo locale x₁ e un punto di massimo locale x₂, con tangenti orizzontali.","section":"2.1 Estremi locali e assoluti"},{"id":"teorema-di-fermat","text":"2.2 Teorema di Fermat","section":"2.2 Teorema di Fermat"},{"id":"search-passage-17","text":"Per una funzione derivabile in un punto interno x₀ del dominio, il verso dell’implicazione di Fermat è x₀ estremo locale di f ⟹ f^(′)(x₀) = 0. La condizione sulla derivata è necessaria; non è sufficiente.","section":"2.2 Teorema di Fermat"},{"id":"search-passage-18","text":"Teorema 1 (Fermat). Sia f una funzione definita in un intorno di x₀ e derivabile in x₀. Se x₀ è un punto di massimo o di minimo locale per f, allora","section":"2.2 Teorema di Fermat"},{"id":"search-passage-19","text":"f^(′)(x₀) = 0.","section":"2.2 Teorema di Fermat"},{"id":"search-passage-20","text":"Dimostrazione. Consideriamo il caso in cui x₀ sia un punto di minimo locale. Esiste un intorno I di x₀ tale che","section":"2.2 Teorema di Fermat"},{"id":"search-passage-21","text":"f(x) ≥ f(x₀) per ogni x ∈ I.","section":"2.2 Teorema di Fermat"},{"id":"search-passage-22","text":"Quindi f(x) − f(x₀) ≥ 0 e il segno del rapporto incrementale dipende dal denominatore:","section":"2.2 Teorema di Fermat"},{"id":"search-passage-23","text":"$$$\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\begin{cases} \\ge0,&x>x_0,\\\\ \\le0,&x0,\\\\ -1,&x<0, \\end{cases} \\qquad f'(x)=\\frac{x}{|x|}.$$","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-33","text":"Nell’origine la funzione ha un minimo assoluto, ma non è derivabile: le pendenze dei due rami sono diverse.","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-34","text":"Esempio 5. Per la funzione","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-35","text":"$$$f(x)=\\sqrt[3]{x^2},$$","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-36","text":"la derivata, per x ≠ 0, è","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-37","text":"$$$f'(x)=\\frac{2}{3\\sqrt[3]{x}}.$$","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-38","text":"Il grafico presenta una cuspide nell’origine, dove la funzione ha un minimo assoluto e non è derivabile.","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-39","text":"Esempio 6. La funzione","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-40","text":"$$$f(x)=1-\\sqrt[3]{x^2}$$","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-41","text":"ha invece una cuspide rivolta verso il basso. Nell’origine assume il valore 1 e ha un massimo assoluto, pur non essendo derivabile.","section":"2.3 Estremi in punti di non derivabilità"},{"id":"estremi-del-dominio-e-ricerca-degli-estremi","text":"2.4 Estremi del dominio e ricerca degli estremi","section":"2.4 Estremi del dominio e ricerca degli estremi"},{"id":"search-passage-42","text":"Esempio 7. Consideriamo f(x) = x² sull’intervallo [2, 3]. Il minimo assoluto è assunto in x = 2, con f(2) = 4, e il massimo assoluto in x = 3, con f(3) = 9. Entrambi si trovano agli estremi dell’intervallo.","section":"2.4 Estremi del dominio e ricerca degli estremi"},{"id":"search-passage-43","text":"Osservazione 1. Per una funzione definita su un intervallo, i punti di massimo e di minimo, relativi o assoluti, vanno cercati tra:","section":"2.4 Estremi del dominio e ricerca degli estremi"},{"id":"search-passage-44","text":"i punti stazionari, nei quali la derivata esiste ed è nulla;","section":"2.4 Estremi del dominio e ricerca degli estremi"},{"id":"search-passage-45","text":"i punti di non derivabilità;","section":"2.4 Estremi del dominio e ricerca degli estremi"},{"id":"search-passage-46","text":"gli estremi dell’intervallo che appartengono al dominio.","section":"2.4 Estremi del dominio e ricerca degli estremi"},{"id":"teorema-di-lagrange","text":"3 Teorema di Lagrange","section":"3 Teorema di Lagrange"},{"id":"search-passage-47","text":"Teorema 2 (Lagrange). Siano a < b e f : [a, b] → ℝ una funzione continua su [a, b] e derivabile su (a, b). Allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che","section":"3 Teorema di Lagrange"},{"id":"search-passage-48","text":"$$$f'(c)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$","section":"3 Teorema di Lagrange"},{"id":"search-passage-49","text":"La continuità sull’intervallo chiuso comprende la continuità da destra in a e da sinistra in b:","section":"3 Teorema di Lagrange"},{"id":"search-passage-50","text":"lim_(x → a⁺)f(x) = f(a), lim_(x → b⁻)f(x) = f(b).","section":"3 Teorema di Lagrange"},{"id":"interpretazione-geometrica","text":"3.1 Interpretazione geometrica","section":"3.1 Interpretazione geometrica"},{"id":"search-passage-51","text":"Il rapporto","section":"3.1 Interpretazione geometrica"},{"id":"search-passage-52","text":"$$$\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$","section":"3.1 Interpretazione geometrica"},{"id":"search-passage-53","text":"è il coefficiente angolare della retta secante che passa per i punti","section":"3.1 Interpretazione geometrica"},{"id":"search-passage-54","text":"P = (a, f(a)), Q = (b, f(b)).","section":"3.1 Interpretazione geometrica"},{"id":"search-passage-55","text":"Il teorema afferma che esiste almeno un punto interno c nel quale la tangente al grafico è parallela alla secante PQ.","section":"3.1 Interpretazione geometrica"},{"id":"search-passage-56","text":"Il punto c non è necessariamente unico: possono esistere più punti nei quali la tangente è parallela alla medesima secante.","section":"3.1 Interpretazione geometrica"},{"id":"funzioni-con-derivata-nulla","text":"3.2 Funzioni con derivata nulla","section":"3.2 Funzioni con derivata nulla"},{"id":"search-passage-57","text":"Corollario 1. Sia I un intervallo e sia f : I → ℝ continua su I e derivabile nei punti interni di I. Se f^(′)(x) = 0 in ogni punto interno di I, allora f è costante su I.","section":"3.2 Funzioni con derivata nulla"},{"id":"search-passage-58","text":"Dimostrazione. Siano x₁, x₂ ∈ I, con x₁ < x₂. Poiché I è un intervallo, [x₁, x₂] ⊆ I. Per il teorema di Lagrange esiste c ∈ (x₁, x₂) tale che","section":"3.2 Funzioni con derivata nulla"},{"id":"search-passage-59","text":"$$$\\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)=0.$$","section":"3.2 Funzioni con derivata nulla"},{"id":"search-passage-60","text":"Quindi f(x₂) = f(x₁). Poiché i due punti sono arbitrari, f è costante su I. ◻","section":"3.2 Funzioni con derivata nulla"},{"id":"derivata-e-monotonia","text":"4 Derivata e monotonia","section":"4 Derivata e monotonia"},{"id":"limportanza-dellipotesi-di-intervallo","text":"4.1 L’importanza dell’ipotesi di intervallo","section":"4.1 L’importanza dell’ipotesi di intervallo"},{"id":"search-passage-61","text":"Osservazione 2. Consideriamo l’insieme","section":"4.1 L’importanza dell’ipotesi di intervallo"},{"id":"search-passage-62","text":"A = [1, 2] ∪ [3, 4].","section":"4.1 L’importanza dell’ipotesi di intervallo"},{"id":"search-passage-63","text":"Se una funzione definita su A soddisfa","section":"4.1 L’importanza dell’ipotesi di intervallo"},{"id":"search-passage-64","text":"f^(′)(x) = 0 per ogni x ∈ (1, 2) ∪ (3, 4),","section":"4.1 L’importanza dell’ipotesi di intervallo"},{"id":"search-passage-65","text":"non possiamo concludere che sia costante su tutto A. Infatti, A non è un intervallo: non è possibile applicare il teorema di Lagrange tra un punto del primo intervallo e un punto del secondo.","section":"4.1 L’importanza dell’ipotesi di intervallo"},{"id":"search-passage-66","text":"Il grafico seguente illustra tratti crescenti e decrescenti separati da un massimo locale e da un minimo locale.","section":"4.1 L’importanza dell’ipotesi di intervallo"},{"id":"derivata-non-negativa-e-funzione-crescente","text":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-67","text":"Teorema 3. Sia I un intervallo e sia f : I → ℝ continua su I e derivabile nei suoi punti interni. Se","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-68","text":"f^(′)(x) ≥ 0 per ogni punto interno x di I,","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-69","text":"allora f è crescente su I, nel senso che","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-70","text":"x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂).","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-71","text":"Dimostrazione. Siano x₁, x₂ ∈ I, con x₁ < x₂. Dobbiamo mostrare che f(x₁) ≤ f(x₂).","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-72","text":"Applichiamo il teorema di Lagrange all’intervallo [x₁, x₂]. Esiste un punto c ∈ (x₁, x₂) tale che","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-73","text":"$$$\\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)\\ge0.$$","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-74","text":"Poiché x₂ − x₁ > 0, segue che","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-75","text":"f(x₂) − f(x₁) ≥ 0,","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-76","text":"ossia f(x₁) ≤ f(x₂). ◻","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-77","text":"Esempio 8. La funzione f(x) = x³ ha derivata","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-78","text":"f^(′)(x) = 3x² ≥ 0 per ogni x ∈ ℝ.","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"search-passage-79","text":"È quindi crescente su tutto ℝ, anche se f^(′)(0) = 0.","section":"4.2 Derivata non negativa e funzione crescente"},{"id":"funzione-crescente-e-segno-della-derivata","text":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-80","text":"Teorema 4. Se f è crescente su un intervallo I ed è derivabile nei punti interni di I, allora","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-81","text":"f^(′)(x) ≥ 0 per ogni punto interno x di I.","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-82","text":"Dimostrazione. Fissiamo un punto interno x₀ di I. Se x > x₀, la crescenza implica f(x) ≥ f(x₀), perciò","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-83","text":"$$$\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ge0.$$","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-84","text":"Se invece x < x₀, si ha f(x) ≤ f(x₀): numeratore e denominatore sono entrambi non positivi, con denominatore strettamente negativo, e quindi il rapporto incrementale è ancora non negativo.","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-85","text":"In conclusione,","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-86","text":"$$$\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ge0 \\qquad\\text{per ogni }x\\in I,\\ x\\ne x_0.$$","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-87","text":"Passando al limite e usando la derivabilità in x₀, otteniamo","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-88","text":"$$$f'(x_0) =\\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ge0.$$","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"},{"id":"search-passage-89","text":"Poiché x₀ è un punto interno arbitrario, la tesi è dimostrata. ◻","section":"4.3 Funzione crescente e segno della derivata"}],"url":"/materie/analisi1/derivate-teorema-lagrange/"},{"id":"analisi1/dimostrazione-derivate-elementari1","slug":"dimostrazione-derivate-elementari1","subject":"analisi1","subjectName":"Analisi Matematica 1","sectionPath":"derivate","sectionName":"Derivate","title":"Legame tra derivabilità e continuità","description":"Argomenti: Legame tra derivabilità e continuità; Calcolo delle derivate; Regole di derivazione.","readingMinutes":6,"text":"$33","passages":[{"id":"search-passage-1","text":"Derivate","section":""},{"id":"search-passage-2","text":"Continuità, calcolo delle derivate e regole di derivazione","section":""},{"id":"legame-tra-derivabilità-e-continuità","text":"1 Legame tra derivabilità e continuità","section":"1 Legame tra derivabilità e continuità"},{"id":"search-passage-3","text":"Teorema 1. Se una funzione f è derivabile in x₀, allora è continua in x₀.","section":"1 Legame tra derivabilità e continuità"},{"id":"search-passage-4","text":"In simboli, f derivabile in x₀ ⟹ f continua in x₀. L’implicazione inversa non vale in generale: f(x) = |x| è continua in 0 ma non è derivabile in 0. Non si può quindi sostituire ⟹ con ⇔.","section":"1 Legame tra derivabilità e continuità"},{"id":"search-passage-5","text":"Dimostrazione. Per x ≠ x₀, si può scrivere $$f(x)-f(x_0) = \\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\,(x-x_0).$$ Poiché f è derivabile in x₀, il rapporto incrementale tende al numero reale f^(′)(x₀). Pertanto $$\\lim_{x\\to x_0}\\bigl(f(x)-f(x_0)\\bigr) = \\underbrace{ \\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }_{f'(x_0)} \\underbrace{\\lim_{x\\to x_0}(x-x_0)}_{0} =0.$$ Ne segue che lim_(x → x₀)f(x) = f(x₀), ossia f è continua in x₀. ◻","section":"1 Legame tra derivabilità e continuità"},{"id":"search-passage-6","text":"Osservazione 1. Consideriamo la funzione $$f(x)= \\begin{cases} 2, & x\\leq 1,\\\\ 3, & x>1. \\end{cases}$$","section":"1 Legame tra derivabilità e continuità"},{"id":"search-passage-7","text":"image","section":"1 Legame tra derivabilità e continuità"},{"id":"search-passage-8","text":"Nel punto x₀ = 1 si ha f(1) = 2. I limiti laterali del rapporto incrementale sono $$\\begin{align*} \\lim_{x\\to1^+}\\frac{f(x)-f(1)}{x-1} &= \\lim_{x\\to1^+}\\frac{3-2}{x-1} = \\lim_{x\\to1^+}\\frac{1}{x-1} =+\\infty,\\\\ \\lim_{x\\to1^-}\\frac{f(x)-f(1)}{x-1} &= \\lim_{x\\to1^-}\\frac{2-2}{x-1} =0. \\end{align*}$$ Poiché i due limiti laterali sono diversi, il limite del rapporto incrementale non esiste. La funzione, quindi, non è derivabile in x₀ = 1.","section":"1 Legame tra derivabilità e continuità"},{"id":"search-passage-9","text":"Osservazione 2. Dal punto di vista geometrico, per x → 1⁺ la retta secante passante per (1, 2) e (x, 3) tende a disporsi verticalmente: il suo coefficiente angolare tende a +∞.","section":"1 Legame tra derivabilità e continuità"},{"id":"search-passage-10","text":"Per x → 1⁻, invece, la secante rimane parallela all’asse delle ascisse e ha coefficiente angolare nullo.","section":"1 Legame tra derivabilità e continuità"},{"id":"calcolo-delle-derivate","text":"2 Calcolo delle derivate","section":"2 Calcolo delle derivate"},{"id":"funzione-costante","text":"2.1 Funzione costante","section":"2.1 Funzione costante"},{"id":"search-passage-11","text":"Sia f(x) = c, con c ∈ ℝ. Per ogni x₀ ∈ ℝ, $$f'(x_0) = \\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \\lim_{x\\to x_0}\\frac{c-c}{x-x_0} = \\lim_{x\\to x_0}0 =0.$$ Quindi $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}c=0}\\endgroup .$$","section":"2.1 Funzione costante"},{"id":"funzione-identità","text":"2.2 Funzione identità","section":"2.2 Funzione identità"},{"id":"search-passage-12","text":"Sia f(x) = x. Si ha $$f'(x_0) = \\lim_{x\\to x_0}\\frac{x-x_0}{x-x_0} = \\lim_{x\\to x_0}1 =1.$$ Pertanto $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}x=1}\\endgroup .$$","section":"2.2 Funzione identità"},{"id":"funzione-fxax","text":"2.3 Funzione f(x) = ax","section":"2.3 Funzione f(x) = ax"},{"id":"search-passage-13","text":"Sia f(x) = ax, con a ∈ ℝ. Allora $$\\begin{align*} f'(x_0) &= \\lim_{x\\to x_0}\\frac{ax-ax_0}{x-x_0}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0}\\frac{a(x-x_0)}{x-x_0} = \\lim_{x\\to x_0}a =a. \\end{align*}$$ Dunque $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}(ax)=a}\\endgroup .$$","section":"2.3 Funzione f(x) = ax"},{"id":"funzione-quadrato","text":"2.4 Funzione quadrato","section":"2.4 Funzione quadrato"},{"id":"search-passage-14","text":"Sia f(x) = x². Scomponendo la differenza di quadrati, $$\\begin{align*} f'(x_0) &= \\lim_{x\\to x_0}\\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0} \\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0}(x+x_0) =2x_0. \\end{align*}$$ Quindi $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}x^2=2x}\\endgroup .$$","section":"2.4 Funzione quadrato"},{"id":"funzione-cubo","text":"2.5 Funzione cubo","section":"2.5 Funzione cubo"},{"id":"search-passage-15","text":"Sia f(x) = x³. Utilizzando la scomposizione x³ − x₀³ = (x − x₀)(x² + xx₀ + x₀²), si ottiene $$\\begin{align*} f'(x_0) &= \\lim_{x\\to x_0}\\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0} \\frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0}(x^2+xx_0+x_0^2) =3x_0^2. \\end{align*}$$ Pertanto $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}x^3=3x^2}\\endgroup .$$","section":"2.5 Funzione cubo"},{"id":"search-passage-16","text":"Osservazione 3. Per n ∈ ℕ, con n ≥ 1, la scomposizione x^(n) − x₀^(n) = (x − x₀)(x^(n − 1) + x^(n − 2)x₀ + ⋯ + xx₀^(n − 2) + x₀^(n − 1)) permette di ottenere $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}}\\endgroup .$$","section":"2.5 Funzione cubo"},{"id":"funzione-reciproca","text":"2.6 Funzione reciproca","section":"2.6 Funzione reciproca"},{"id":"search-passage-17","text":"Sia $$f(x)=x^{-1}=\\frac1x, \\qquad x\\neq0.$$ Per x₀ ≠ 0, $$\\begin{align*} f'(x_0) &= \\lim_{x\\to x_0} \\frac{\\frac1x-\\frac1{x_0}}{x-x_0}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0} \\frac{x_0-x}{xx_0(x-x_0)}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0}\\left(-\\frac1{xx_0}\\right) = -\\frac1{x_0^2}. \\end{align*}$$ Quindi $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}x^{-1} =-x^{-2} =-\\frac 1{x^2} }\\endgroup .$$","section":"2.6 Funzione reciproca"},{"id":"radice-quadrata","text":"2.7 Radice quadrata","section":"2.7 Radice quadrata"},{"id":"search-passage-18","text":"Sia $$f(x)=x^{1/2}=\\sqrt{x}.$$ Per x₀ > 0, razionalizzando il numeratore si ottiene $$\\begin{align*} f'(x_0) &= \\lim_{x\\to x_0} \\frac{\\sqrt{x}-\\sqrt{x_0}}{x-x_0}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0} \\frac{\\sqrt{x}-\\sqrt{x_0}}{x-x_0} \\cdot \\frac{\\sqrt{x}+\\sqrt{x_0}}{\\sqrt{x}+\\sqrt{x_0}}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0} \\frac{x-x_0}{(x-x_0)(\\sqrt{x}+\\sqrt{x_0})}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0}\\frac1{\\sqrt{x}+\\sqrt{x_0}} = \\frac1{2\\sqrt{x_0}}. \\end{align*}$$ Pertanto, per x > 0, $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}\\sqrt{x} =\\frac 1{2\\sqrt{x}} =\\frac 12x^{-1/2} }\\endgroup .$$","section":"2.7 Radice quadrata"},{"id":"logaritmo-naturale","text":"2.8 Logaritmo naturale","section":"2.8 Logaritmo naturale"},{"id":"search-passage-19","text":"Sia f(x) = log x, con x > 0, dove log indica il logaritmo naturale. Ponendo h = x − x₀, il rapporto incrementale assume la forma $$f'(x_0) = \\lim_{h\\to0} \\frac{\\log(x_0+h)-\\log x_0}{h}.$$ Dalle proprietà dei logaritmi, $$\\frac{\\log(x_0+h)-\\log x_0}{h} = \\frac1h\\log\\left(1+\\frac{h}{x_0}\\right).$$ Inoltre, $$\\frac1h\\log\\left(1+\\frac{h}{x_0}\\right) = \\frac1{x_0} \\log\\left[ \\left(1+\\frac{h}{x_0}\\right)^{x_0/h} \\right].$$ Poiché $$\\lim_{h\\to0} \\left(1+\\frac{h}{x_0}\\right)^{x_0/h} =e,$$ segue che $$f'(x_0)=\\frac1{x_0}\\log e=\\frac1{x_0}.$$ Dunque $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}\\log x=\\frac 1x}\\endgroup , \\qquad x>0.$$","section":"2.8 Logaritmo naturale"},{"id":"funzione-esponenziale","text":"2.9 Funzione esponenziale","section":"2.9 Funzione esponenziale"},{"id":"search-passage-20","text":"Sia f(x) = e^(x). Si ha $$\\begin{align*} f'(x) &= \\lim_{h\\to0}\\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\\\ &= \\lim_{h\\to0}\\frac{e^xe^h-e^x}{h}\\\\ &= e^x\\lim_{h\\to0}\\frac{e^h-1}{h} =e^x. \\end{align*}$$ Quindi $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}e^x=e^x}\\endgroup .$$","section":"2.9 Funzione esponenziale"},{"id":"funzione-seno","text":"2.10 Funzione seno","section":"2.10 Funzione seno"},{"id":"search-passage-21","text":"Sia f(x) = sin x. Utilizzando la formula di addizione, $$\\begin{align*} f'(x) &= \\lim_{h\\to0}\\frac{\\sin(x+h)-\\sin x}{h}\\\\ &= \\lim_{h\\to0} \\frac{\\sin x\\cos h+\\cos x\\sin h-\\sin x}{h}\\\\ &= \\lim_{h\\to0} \\left[ \\sin x\\,\\frac{\\cos h-1}{h} + \\cos x\\,\\frac{\\sin h}{h} \\right]. \\end{align*}$$ Poiché $$\\lim_{h\\to0}\\frac{\\sin h}{h}=1$$ e $$\\lim_{h\\to0}\\frac{\\cos h-1}{h} = -\\lim_{h\\to0} \\left( h\\,\\frac{1-\\cos h}{h^2} \\right) =0,$$ si conclude che f^(′)(x) = sin x ⋅ 0 + cos x ⋅ 1 = cos x. Pertanto $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}\\sin x=\\cos x}\\endgroup .$$","section":"2.10 Funzione seno"},{"id":"funzione-coseno","text":"2.11 Funzione coseno","section":"2.11 Funzione coseno"},{"id":"search-passage-22","text":"Sia f(x) = cos x. Dalla formula di addizione, $$\\begin{align*} f'(x) &= \\lim_{h\\to0}\\frac{\\cos(x+h)-\\cos x}{h}\\\\ &= \\lim_{h\\to0} \\frac{\\cos x\\cos h-\\sin x\\sin h-\\cos x}{h}\\\\ &= \\lim_{h\\to0} \\left[ \\cos x\\,\\frac{\\cos h-1}{h} - \\sin x\\,\\frac{\\sin h}{h} \\right]\\\\ &= \\cos x\\cdot0-\\sin x\\cdot1 =-\\sin x. \\end{align*}$$ Quindi $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle \\frac{d}{dx}\\cos x=-\\sin x}\\endgroup .$$","section":"2.11 Funzione coseno"},{"id":"regole-di-derivazione","text":"3 Regole di derivazione","section":"3 Regole di derivazione"},{"id":"derivata-della-somma","text":"3.1 Derivata della somma","section":"3.1 Derivata della somma"},{"id":"search-passage-23","text":"Teorema 2. Se f e g sono derivabili in x₀, allora la funzione k(x) = f(x) + g(x) è derivabile in x₀ e vale $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle k'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)}\\endgroup .$$","section":"3.1 Derivata della somma"},{"id":"search-passage-24","text":"Dimostrazione. Il rapporto incrementale di k si può scrivere come $$\\begin{align*} \\frac{k(x)-k(x_0)}{x-x_0} &= \\frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0}\\\\ &= \\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}. \\end{align*}$$ Passando al limite per x → x₀, si ottiene k^(′)(x₀) = f^(′)(x₀) + g^(′)(x₀). ◻","section":"3.1 Derivata della somma"},{"id":"derivata-del-prodotto","text":"3.2 Derivata del prodotto","section":"3.2 Derivata del prodotto"},{"id":"search-passage-25","text":"Teorema 3. Se f e g sono derivabili in x₀, allora la funzione k(x) = f(x)g(x) è derivabile in x₀ e vale $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle k'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) }\\endgroup .$$","section":"3.2 Derivata del prodotto"},{"id":"search-passage-26","text":"Dimostrazione. Aggiungendo e sottraendo f(x)g(x₀) al numeratore, si ottiene $$\\begin{align*} \\frac{k(x)-k(x_0)}{x-x_0} &= \\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}\\\\ &= \\frac{ f(x)g(x)-f(x)g(x_0) +f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0) }{x-x_0}\\\\ &= f(x)\\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} + g(x_0)\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \\end{align*}$$ Poiché f è derivabile in x₀, è anche continua in x₀; dunque f(x) → f(x₀). Passando al limite, k^(′)(x₀) = f(x₀)g^(′)(x₀) + g(x₀)f^(′)(x₀). ◻","section":"3.2 Derivata del prodotto"},{"id":"search-passage-27","text":"Esempio 1. Siano f(x) = log x, g(x) = x² + 3x, x > 0. Applicando la regola di derivazione del prodotto, $$\\begin{align*} \\frac{d}{dx}\\bigl[\\log x\\,(x^2+3x)\\bigr] &= \\frac1x(x^2+3x)+\\log x\\,(2x+3). \\end{align*}$$","section":"3.2 Derivata del prodotto"},{"id":"derivata-del-prodotto-per-una-costante","text":"3.3 Derivata del prodotto per una costante","section":"3.3 Derivata del prodotto per una costante"},{"id":"search-passage-28","text":"Teorema 4. Sia a ∈ ℝ. Se f è derivabile in x₀, allora k(x) = af(x) è derivabile in x₀ e vale $$% \\begingroup\\color{accento}\\boxed{\\displaystyle k'(x_0)=af'(x_0)}\\endgroup .$$","section":"3.3 Derivata del prodotto per una costante"},{"id":"search-passage-29","text":"Dimostrazione. Si ha $$\\begin{align*} k'(x_0) &= \\lim_{x\\to x_0}\\frac{k(x)-k(x_0)}{x-x_0}\\\\ &= \\lim_{x\\to x_0}\\frac{af(x)-af(x_0)}{x-x_0}\\\\ &= a\\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =af'(x_0). \\end{align*}$$ ◻","section":"3.3 Derivata del prodotto per una costante"}],"url":"/materie/analisi1/dimostrazione-derivate-elementari1/"},{"id":"analisi1/regole-derivazione-composte","slug":"regole-derivazione-composte","subject":"analisi1","subjectName":"Analisi Matematica 1","sectionPath":"derivate","sectionName":"Derivate","title":"Regole di derivazione","description":"Derivazione di funzioni composte, quozienti e inverse; derivate laterali e classificazione dei punti di non derivabilità.","readingMinutes":6,"text":"$34","passages":[{"id":"sec:composta","text":"1 Derivazione della funzione composta","section":"1 Derivazione della funzione composta"},{"id":"search-passage-1","text":"Teorema 1 (Regola della catena). Sia g derivabile in x₀ e sia f derivabile in y₀ = g(x₀). Supponiamo che la funzione composta h(x) = f(g(x)), h = f ∘ g, sia definita in un intorno di x₀. Allora h è derivabile in x₀ e $$\\boxed{h'(x_0)=f'(g(x_0))\\,g'(x_0).}$$","section":"1 Derivazione della funzione composta"},{"id":"search-passage-2","text":"Dimostrazione. Poniamo y₀ = g(x₀) e consideriamo il rapporto incrementale esteso $$A(y)= \\begin{cases} \\dfrac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}, & y\\ne y_0,\\\\[6pt] f'(y_0), & y=y_0. \\end{cases}$$ Per la derivabilità di f in y₀, si ha A(y) → f^(′)(y₀) per y → y₀. Inoltre, g è continua in x₀, poiché è derivabile; pertanto g(x) → g(x₀) = y₀ per x → x₀.","section":"1 Derivazione della funzione composta"},{"id":"search-passage-3","text":"Per x ≠ x₀ possiamo dunque scrivere $$\\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} = A(g(x))\\,\\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}.$$ Questa identità vale anche quando g(x) = g(x₀), perché entrambi i membri sono nulli. Passando al limite, h^(′)(x₀) = f^(′)(y₀) g^(′)(x₀) = f^(′)(g(x₀)) g^(′)(x₀). ◻","section":"1 Derivazione della funzione composta"},{"id":"search-passage-4","text":"Esempio: composizione con il seno","section":"1 Derivazione della funzione composta"},{"id":"search-passage-5","text":"Siano f(x) = sin x e g(x) = x² + 3x + 2. La funzione composta è h(x) = sin (x² + 3x + 2). Applicando la regola della catena, si ottiene $$\\boxed{h'(x)=\\cos(x^2+3x+2)\\,(2x+3).}$$","section":"1 Derivazione della funzione composta"},{"id":"sec:quoziente","text":"2 Derivazione di un quoziente","section":"2 Derivazione di un quoziente"},{"id":"search-passage-6","text":"Teorema 2 (Regola del quoziente). Siano f e g derivabili in x₀, con g(x₀) ≠ 0. Allora la funzione $$h(x)=\\frac{f(x)}{g(x)}$$ è derivabile in x₀ e $$\\boxed{h'(x_0)= \\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}.}$$","section":"2 Derivazione di un quoziente"},{"id":"search-passage-7","text":"Dimostrazione. Poiché g è continua in x₀ e g(x₀) ≠ 0, il denominatore non si annulla in un opportuno intorno di x₀. Scriviamo $$h(x)=f(x)\\,k(g(x)),\\qquad k(t)=\\frac1t.$$ Essendo k^(′)(t) = −1/t², per la regola della catena si ha $$(k\\circ g)'(x_0) =k'(g(x_0))\\,g'(x_0) =-\\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}.$$ Applicando la regola di derivazione del prodotto, $$\\begin{align*} h'(x_0) &=f'(x_0)\\,k(g(x_0))+f(x_0)\\,(k\\circ g)'(x_0)\\\\ &=\\frac{f'(x_0)}{g(x_0)} -\\frac{f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}\\\\ &=\\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}. \\end{align*}$$ ◻","section":"2 Derivazione di un quoziente"},{"id":"esempio-derivata-della-tangente","text":"2.1 Esempio: derivata della tangente","section":"2.1 Esempio: derivata della tangente"},{"id":"search-passage-8","text":"Per x ≠ π/2 + kπ, con k ∈ ℤ, si ha $$f(x)=\\tan x=\\frac{\\sin x}{\\cos x}.$$ Pertanto $$\\begin{align*} f'(x) &=\\frac{\\cos x\\cos x-\\sin x(-\\sin x)}{\\cos^2x}\\\\ &=\\frac{\\cos^2x+\\sin^2x}{\\cos^2x} =\\frac1{\\cos^2x} =1+\\tan^2x. \\end{align*}$$ Quindi $$\\boxed{(\\tan x)'=\\frac1{\\cos^2x}=1+\\tan^2x.}$$","section":"2.1 Esempio: derivata della tangente"},{"id":"sec:inversa","text":"3 Derivazione della funzione inversa","section":"3 Derivazione della funzione inversa"},{"id":"search-passage-9","text":"Teorema 3 (Derivata della funzione inversa). Sia f: I → J una funzione invertibile tra intervalli, e sia g = f⁻¹ la sua inversa. Sia x₀ un punto interno di J. Se g è continua in x₀, f è derivabile in g(x₀) e f^(′)(g(x₀)) ≠ 0, allora g è derivabile in x₀ e $$\\boxed{g'(x_0)=\\frac1{f'(g(x_0))}.}$$","section":"3 Derivazione della funzione inversa"},{"id":"search-passage-10","text":"Dimostrazione. Poiché f(g(x)) = x, ponendo y = g(x) e y₀ = g(x₀) si ottiene, per x ≠ x₀, $$\\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} =\\frac{y-y_0}{f(y)-f(y_0)} =\\frac1{\\dfrac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}}.$$ Per la continuità di g, da x → x₀ segue y → y₀. Il denominatore tende a f^(′)(y₀) ≠ 0, dunque $$g'(x_0)=\\frac1{f'(y_0)}=\\frac1{f'(g(x_0))}.$$ La formula corrisponde all’identità ottenuta derivando f(g(x)) = x: f^(′)(g(x₀)) g^(′)(x₀) = 1. ◻","section":"3 Derivazione della funzione inversa"},{"id":"esempio-derivata-dellarcotangente","text":"3.1 Esempio: derivata dell’arcotangente","section":"3.1 Esempio: derivata dell’arcotangente"},{"id":"search-passage-11","text":"Consideriamo $$f(t)=\\tan t,\\qquad -\\frac\\pi2 0, vale la regola (x^(q))^(′) = q x^(q − 1).","section":"3.3 Esempio: derivata di $\\sqrt[3]{x^2}$"},{"id":"search-passage-15","text":"Studio in x₀ = 0. Il rapporto incrementale è $$\\frac{h(x)-h(0)}{x-0} =\\frac{\\sqrt[3]{x^2}}{x} =\\frac1{\\sqrt[3]{x}},\\qquad x\\ne 0.$$ I suoi limiti laterali sono $$\\lim_{x\\to 0^+}\\frac1{\\sqrt[3]{x}}=+\\infty, \\qquad \\lim_{x\\to 0^-}\\frac1{\\sqrt[3]{x}}=-\\infty.$$ Pertanto h non è derivabile in 0.","section":"3.3 Esempio: derivata di $\\sqrt[3]{x^2}$"},{"id":"esempio-prodotto-con-una-funzione-composta","text":"3.4 Esempio: prodotto con una funzione composta","section":"3.4 Esempio: prodotto con una funzione composta"},{"id":"search-passage-16","text":"Consideriamo $$f(x)=\\sin(\\sqrt[3]{x})\\,\\sin x.$$ Caso x ≠ 0. Applicando la regola del prodotto e quella della catena, $$\\begin{align*} f'(x) &=\\bigl(\\sin(\\sqrt[3]{x})\\bigr)'\\sin x +\\sin(\\sqrt[3]{x})\\cos x\\\\ &=\\cos(\\sqrt[3]{x})\\,(\\sqrt[3]{x})'\\sin x +\\sin(\\sqrt[3]{x})\\cos x\\\\ &=\\frac{\\cos(\\sqrt[3]{x})\\sin x}{3\\sqrt[3]{x^2}} +\\sin(\\sqrt[3]{x})\\cos x. \\end{align*}$$ Questa formula vale soltanto per x ≠ 0.","section":"3.4 Esempio: prodotto con una funzione composta"},{"id":"search-passage-17","text":"Caso x₀ = 0. Poiché f(0) = 0, si calcola direttamente $$\\begin{align*} f'(0) &=\\lim_{x\\to 0}\\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\\\ &=\\lim_{x\\to 0}\\sin(\\sqrt[3]{x})\\,\\frac{\\sin x}{x} =0\\cdot 1=0. \\end{align*}$$ La funzione è dunque derivabile anche in 0, con $$\\boxed{f'(0)=0.}$$","section":"3.4 Esempio: prodotto con una funzione composta"},{"id":"sec:laterali","text":"4 Derivate laterali e punti di non derivabilità","section":"4 Derivate laterali e punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-18","text":"Definizione 4 (Derivata destra e derivata sinistra). La derivata destra di f in x₀ è $$f'_+(x_0)=\\lim_{x\\to x_0^+}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ quando il limite esiste ed è finito. La derivata sinistra è $$f'_-(x_0)=\\lim_{x\\to x_0^-}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ quando il limite esiste ed è finito.","section":"4 Derivate laterali e punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-19","text":"Se f è definita in un intorno di x₀, la derivabilità si caratterizza con f derivabile in x₀ ⇔ ∃L ∈ ℝ: f₊^(′)(x₀) = f⁻^(′)(x₀) = L. Occorrono entrambe le derivate laterali, finite e uguali.","section":"4 Derivate laterali e punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-20","text":"Quando questi limiti sono infiniti, le notazioni f₊^(′)(x₀) e f⁻^(′)(x₀) vengono usate in senso esteso; non indicano derivate finite.","section":"4 Derivate laterali e punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-21","text":"Esempio: limiti laterali infiniti in 0","section":"4 Derivate laterali e punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-22","text":"Per $f(x)=\\sqrt[3]{x}$, si ha f₊^(′)(0) = +∞, f⁻^(′)(0) = +∞.","section":"4 Derivate laterali e punti di non derivabilità"},{"id":"search-passage-23","text":"Per $f(x)=\\sqrt[3]{x^2}$, si ha f₊^(′)(0) = +∞, f⁻^(′)(0) = −∞.","section":"4 Derivate laterali e punti di non derivabilità"},{"id":"radice-cubica-flesso-a-tangente-verticale","text":"4.1 Radice cubica: flesso a tangente verticale","section":"4.1 Radice cubica: flesso a tangente verticale"},{"id":"search-passage-24","text":"Il grafico di $f(x)=\\sqrt[3]{x}$ presenta nell’origine un punto di flesso a tangente verticale. La tangente è la retta x = 0, che non si può rappresentare nella forma y = mx + q.","section":"4.1 Radice cubica: flesso a tangente verticale"},{"id":"radice-cubica-del-quadrato-cuspide","text":"4.2 Radice cubica del quadrato: cuspide","section":"4.2 Radice cubica del quadrato: cuspide"},{"id":"search-passage-25","text":"Il grafico di $f(x)=\\sqrt[3]{x^2}$ presenta nell’origine un punto di cuspide: il rapporto incrementale tende a −∞ da sinistra e a +∞ da destra.","section":"4.2 Radice cubica del quadrato: cuspide"},{"id":"valore-assoluto-punto-angoloso","text":"4.3 Valore assoluto: punto angoloso","section":"4.3 Valore assoluto: punto angoloso"},{"id":"search-passage-26","text":"Consideriamo $$f(x)=|x|= \\begin{cases} x, & x\\ge 0,\\\\ -x, & x<0. \\end{cases}$$ Per x ≠ 0 la derivata è $$f'(x)= \\begin{cases} 1, & x>0,\\\\ -1, & x<0. \\end{cases}$$ In 0 si deve invece studiare il rapporto incrementale: $$\\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\\frac{|x|}{x},\\qquad x\\ne 0.$$ Si ottiene $$\\begin{align*} f'_+(0)&=\\lim_{x\\to 0^+}\\frac{x}{x}=1,\\\\ f'_-(0)&=\\lim_{x\\to 0^-}\\frac{-x}{x}=-1. \\end{align*}$$ Poiché le due derivate laterali sono diverse, f^(′)(0) non esiste: l’origine è un punto angoloso.","section":"4.3 Valore assoluto: punto angoloso"},{"id":"esempio-conclusivo-funzione-definita-a-tratti","text":"4.4 Esempio conclusivo: funzione definita a tratti","section":"4.4 Esempio conclusivo: funzione definita a tratti"},{"id":"search-passage-27","text":"Consideriamo la funzione $$f(x)= \\begin{cases} x^2-x, & x\\le 0,\\\\ x^2+x, & x>0. \\end{cases}$$ Per x ≠ 0, derivando separatamente le due espressioni, $$\\boxed{ f'(x)= \\begin{cases} 2x-1, & x<0,\\\\ 2x+1, & x>0. \\end{cases}}$$","section":"4.4 Esempio conclusivo: funzione definita a tratti"}],"url":"/materie/analisi1/regole-derivazione-composte/"}],"subjects":[{"slug":"analisi1","name":"Analisi Matematica 1","description":"Limiti, derivate, integrali e funzioni di una variabile","icon":"function","count":6,"sections":"$0:t:t:d:r:props:children:1:props:children:1:props:children:props:children:1:props:subjects:1:sections"}],"lockedSubject":true}]

Appunti della sezione

Derivate, estremi e teorema di Lagrange

Legame tra derivabilità e continuità

Regole di derivazione