1 Derivazione della funzione composta

Teorema 1 (Regola della catena). Sia gg derivabile in x0x_0 e sia ff derivabile in y0=g(x0)y_0=g(x_0). Supponiamo che la funzione composta h(x)=f(g(x)),h=f∘g,h(x)=f(g(x)),\qquad h=f\circ g,h(x)=f(g(x)),h=f∘g,\begin{gathered}h(x)=f(g(x)),\\[0.5em]h=f\circ g,\end{gathered} sia definita in un intorno di x0x_0. Allora hh è derivabile in x0x_0 e h′(x0)=f′(g(x0)) g′(x0).\boxed{h'(x_0)=f'(g(x_0))\,g'(x_0).}

Dimostrazione. Poniamo y0=g(x0)y_0=g(x_0) e consideriamo il rapporto incrementale esteso A(y)={f(y)−f(y0)y−y0,y≠y0,f′(y0),y=y0.A(y)= \begin{cases} \dfrac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}, & y\ne y_0,\\[6pt] f'(y_0), & y=y_0. \end{cases} Per la derivabilità di ff in y0y_0, si ha A(y)→f′(y0)A(y)\to f'(y_0) per y→y0y\to y_0. Inoltre, gg è continua in x0x_0, poiché è derivabile; pertanto g(x)→g(x0)=y0g(x)\to g(x_0)=y_0 per x→x0x\to x_0.

Per x≠x0x\ne x_0 possiamo dunque scrivere h(x)−h(x0)x−x0=A(g(x)) g(x)−g(x0)x−x0.\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} = A(g(x))\,\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}. Questa identità vale anche quando g(x)=g(x0)g(x)=g(x_0), perché entrambi i membri sono nulli. Passando al limite, h′(x0)=f′(y0) g′(x0)=f′(g(x0)) g′(x0).h'(x_0)=f'(y_0)\,g'(x_0)=f'(g(x_0))\,g'(x_0). ◻

Esempio: composizione con il seno

Siano f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x e g(x)=x2+3x+2g(x)=x^2+3x+2. La funzione composta è h(x)=sin⁡(x2+3x+2).h(x)=\sin(x^2+3x+2). Applicando la regola della catena, si ottiene h′(x)=cos⁡(x2+3x+2) (2x+3).\boxed{h'(x)=\cos(x^2+3x+2)\,(2x+3).}

2 Derivazione di un quoziente

Teorema 2 (Regola del quoziente). Siano ff e gg derivabili in x0x_0, con g(x0)≠0g(x_0)\ne 0. Allora la funzione h(x)=f(x)g(x)h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} è derivabile in x0x_0 e h′(x0)=f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)g2(x0).\boxed{h'(x_0)= \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}.}

Dimostrazione. Poiché gg è continua in x0x_0 e g(x0)≠0g(x_0)\ne 0, il denominatore non si annulla in un opportuno intorno di x0x_0. Scriviamo h(x)=f(x) k(g(x)),k(t)=1t.h(x)=f(x)\,k(g(x)),\qquad k(t)=\frac1t.h(x)=f(x) k(g(x)),k(t)=1t.\begin{gathered}h(x)=f(x)\,k(g(x)),\\[0.5em]k(t)=\frac1t.\end{gathered} Essendo k′(t)=−1/t2k'(t)=-1/t^2, per la regola della catena si ha (k∘g)′(x0)=k′(g(x0)) g′(x0)=−g′(x0)g2(x0).(k\circ g)'(x_0) =k'(g(x_0))\,g'(x_0) =-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}. Applicando la regola di derivazione del prodotto, h′(x0)=f′(x0) k(g(x0))+f(x0) (k∘g)′(x0)=f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)g2(x0)=f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)g2(x0).\begin{aligned} h'(x_0) &=f'(x_0)\,k(g(x_0))+f(x_0)\,(k\circ g)'(x_0)\\ &=\frac{f'(x_0)}{g(x_0)} -\frac{f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}\\ &=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}. \end{aligned} ◻

2.1 Esempio: derivata della tangente

Per x≠π/2+kπx\ne \pi/2+k\pi, con k∈Zk\in\mathbb{Z}, si ha f(x)=tan⁡x=sin⁡xcos⁡x.f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}. Pertanto f′(x)=cos⁡xcos⁡x−sin⁡x(−sin⁡x)cos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x=1+tan⁡2x.\begin{aligned} f'(x) &=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}\\ &=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} =\frac1{\cos^2x} =1+\tan^2x. \end{aligned} Quindi (tan⁡x)′=1cos⁡2x=1+tan⁡2x.\boxed{(\tan x)'=\frac1{\cos^2x}=1+\tan^2x.}

3 Derivazione della funzione inversa

Teorema 3 (Derivata della funzione inversa). Sia f ⁣:I→Jf\colon I\to J una funzione invertibile tra intervalli, e sia g=f−1g=f^{-1} la sua inversa. Sia x0x_0 un punto interno di JJ. Se gg è continua in x0x_0, ff è derivabile in g(x0)g(x_0) e f′(g(x0))≠0f'(g(x_0))\ne 0, allora gg è derivabile in x0x_0 e g′(x0)=1f′(g(x0)).\boxed{g'(x_0)=\frac1{f'(g(x_0))}.}

Dimostrazione. Poiché f(g(x))=xf(g(x))=x, ponendo y=g(x)y=g(x) e y0=g(x0)y_0=g(x_0) si ottiene, per x≠x0x\ne x_0, g(x)−g(x0)x−x0=y−y0f(y)−f(y0)=1f(y)−f(y0)y−y0.\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} =\frac{y-y_0}{f(y)-f(y_0)} =\frac1{\dfrac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}}. Per la continuità di gg, da x→x0x\to x_0 segue y→y0y\to y_0. Il denominatore tende a f′(y0)≠0f'(y_0)\ne 0, dunque g′(x0)=1f′(y0)=1f′(g(x0)).g'(x_0)=\frac1{f'(y_0)}=\frac1{f'(g(x_0))}. La formula corrisponde all’identità ottenuta derivando f(g(x))=xf(g(x))=x: f′(g(x0)) g′(x0)=1.f'(g(x_0))\,g'(x_0)=1. ◻

3.1 Esempio: derivata dell’arcotangente

Consideriamo f(t)=tan⁡t,−π2<t<π2,g(x)=arctgx.f(t)=\tan t,\qquad -\frac\pi2<t<\frac\pi2, \qquad g(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}x.f(t)=tan⁡t,−π2<t<π2,g(x)=arctgx.\begin{gathered}f(t)=\tan t,\\[0.5em]-\frac\pi2<t<\frac\pi2,\\[0.5em]g(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}x.\end{gathered} Poiché f′(t)=1+tan⁡2tf'(t)=1+\tan^2t, applicando la regola della funzione inversa si ottiene g′(x)=1f′(g(x))=11+tan⁡2(arctgx)=11+x2,\begin{aligned} g'(x) &=\frac1{f'(g(x))} =\frac1{1+\tan^2(\mathop{\mathrm{arctg}}x)}\\ &=\frac1{1+x^2}, \end{aligned} avendo usato tan⁡(arctgx)=x\tan(\mathop{\mathrm{arctg}}x)=x. Pertanto (arctgx)′=11+x2,x∈R.\boxed{(\mathop{\mathrm{arctg}}x)'=\frac1{1+x^2},\qquad x\in\mathbb{R}.}

3.2 Esempio: derivata della radice cubica

La funzione g(x)=x3=x1/3g(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} è l’inversa di f(t)=t3f(t)=t^3, la cui derivata è f′(t)=3t2f'(t)=3t^2. Per x≠0x\ne 0 risulta quindi g′(x)=1f′(g(x))=13(x3)2=13x23.\begin{aligned} g'(x) &=\frac1{f'(g(x))} =\frac1{3(\sqrt[3]{x})^2} =\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}. \end{aligned} In conclusione, (x3)′=13x23,x≠0.\boxed{(\sqrt[3]{x})'=\frac1{3\sqrt[3]{x^2}},\qquad x\ne 0.}

Studio in x0=0x_0=0. Calcoliamo direttamente il limite del rapporto incrementale: lim⁡x→0g(x)−g(0)x−0=lim⁡x→0x3x=lim⁡x→01x23=+∞.\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0} &=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x}}{x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac1{\sqrt[3]{x^2}} =+\infty. \end{aligned} Poiché il limite non è finito, gg non è derivabile in 00.

3.3 Esempio: derivata di x23\sqrt[3]{x^2}

Per x≠0x\ne 0 consideriamo h(x)=x23=x2/3=(x3)2.h(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}=(\sqrt[3]{x})^2. Scrivendo h=f∘kh=f\circ k, con f(t)=t3,k(x)=x2,f(t)=\sqrt[3]{t},\qquad k(x)=x^2,f(t)=t3,k(x)=x2,\begin{gathered}f(t)=\sqrt[3]{t},\\[0.5em]k(x)=x^2,\end{gathered} la regola della catena fornisce h′(x)=f′(k(x)) k′(x)=2x3(x2)23=2x3x43=23x3.\begin{aligned} h'(x) &=f'(k(x))\,k'(x) =\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2)^2}}\\ &=\frac{2x}{3\sqrt[3]{x^4}} =\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}. \end{aligned} Quindi (x23)′=23x3,x≠0.\boxed{(\sqrt[3]{x^2})'=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}},\qquad x\ne 0.} Per le potenze razionali, con q∈Qq\in\mathbb{Q} e x>0x>0, vale la regola (xq)′=q xq−1(x^q)'=q\,x^{q-1}.

Studio in x0=0x_0=0. Il rapporto incrementale è h(x)−h(0)x−0=x23x=1x3,x≠0.\frac{h(x)-h(0)}{x-0} =\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} =\frac1{\sqrt[3]{x}},\qquad x\ne 0.h(x)−h(0)x−0=x23x=1x3,x≠0.\begin{gathered}\frac{h(x)-h(0)}{x-0} =\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} =\frac1{\sqrt[3]{x}},\\[0.5em]x\ne 0.\end{gathered} I suoi limiti laterali sono lim⁡x→0+1x3=+∞,lim⁡x→0−1x3=−∞.\lim_{x\to 0^+}\frac1{\sqrt[3]{x}}=+\infty, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac1{\sqrt[3]{x}}=-\infty.lim⁡x→0+1x3=+∞,lim⁡x→0−1x3=−∞.\begin{gathered}\lim_{x\to 0^+}\frac1{\sqrt[3]{x}}=+\infty,\\[0.5em]\lim_{x\to 0^-}\frac1{\sqrt[3]{x}}=-\infty.\end{gathered} Pertanto hh non è derivabile in 00.

3.4 Esempio: prodotto con una funzione composta

Consideriamo f(x)=sin⁡(x3) sin⁡x.f(x)=\sin(\sqrt[3]{x})\,\sin x. Caso x≠0x\ne 0. Applicando la regola del prodotto e quella della catena, f′(x)=(sin⁡(x3))′sin⁡x+sin⁡(x3)cos⁡x=cos⁡(x3) (x3)′sin⁡x+sin⁡(x3)cos⁡x=cos⁡(x3)sin⁡x3x23+sin⁡(x3)cos⁡x.\begin{aligned} f'(x) &=\bigl(\sin(\sqrt[3]{x})\bigr)'\sin x +\sin(\sqrt[3]{x})\cos x\\ &=\cos(\sqrt[3]{x})\,(\sqrt[3]{x})'\sin x +\sin(\sqrt[3]{x})\cos x\\ &=\frac{\cos(\sqrt[3]{x})\sin x}{3\sqrt[3]{x^2}} +\sin(\sqrt[3]{x})\cos x. \end{aligned} Questa formula vale soltanto per x≠0x\ne 0.

Caso x0=0x_0=0. Poiché f(0)=0f(0)=0, si calcola direttamente f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0sin⁡(x3) sin⁡xx=0⋅1=0.\begin{aligned} f'(0) &=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ &=\lim_{x\to 0}\sin(\sqrt[3]{x})\,\frac{\sin x}{x} =0\cdot 1=0. \end{aligned} La funzione è dunque derivabile anche in 00, con f′(0)=0.\boxed{f'(0)=0.}

4 Derivate laterali e punti di non derivabilità

Definizione 4 (Derivata destra e derivata sinistra). La derivata destra di ff in x0x_0 è f+′(x0)=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0,f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, quando il limite esiste ed è finito. La derivata sinistra è f−′(x0)=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0,f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, quando il limite esiste ed è finito.

Se ff è definita in un intorno di x0x_0, la derivabilità si caratterizza con f derivabile in x0  ⟺  ∃L∈R:f+′(x0)=f−′(x0)=L.f\text{ derivabile in }x_0 \iff\exists L\in\mathbb{R}:\quad f'_+(x_0)=f'_-(x_0)=L.f derivabile in x0  ⟺  ∃L∈R:f+′(x0)=f−′(x0)=L.\begin{gathered}f\text{ derivabile in }x_0 \iff\exists L\in\mathbb{R}:\\[0.5em]f'_+(x_0)=f'_-(x_0)=L.\end{gathered} Occorrono entrambe le derivate laterali, finite e uguali.

Quando questi limiti sono infiniti, le notazioni f+′(x0)f'_+(x_0) e f−′(x0)f'_-(x_0) vengono usate in senso esteso; non indicano derivate finite.

Esempio: limiti laterali infiniti in 00

  1. Per f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x}, si ha f+′(0)=+∞,f−′(0)=+∞.f'_+(0)=+\infty,\qquad f'_-(0)=+\infty.f+′(0)=+∞,f−′(0)=+∞.\begin{gathered}f'_+(0)=+\infty,\\[0.5em]f'_-(0)=+\infty.\end{gathered}

  2. Per f(x)=x23f(x)=\sqrt[3]{x^2}, si ha f+′(0)=+∞,f−′(0)=−∞.f'_+(0)=+\infty,\qquad f'_-(0)=-\infty.f+′(0)=+∞,f−′(0)=−∞.\begin{gathered}f'_+(0)=+\infty,\\[0.5em]f'_-(0)=-\infty.\end{gathered}

4.1 Radice cubica: flesso a tangente verticale

Il grafico di f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x} presenta nell’origine un punto di flesso a tangente verticale. La tangente è la retta x=0x=0, che non si può rappresentare nella forma y=mx+qy=mx+q.

Diagramma TikZ

4.2 Radice cubica del quadrato: cuspide

Il grafico di f(x)=x23f(x)=\sqrt[3]{x^2} presenta nell’origine un punto di cuspide: il rapporto incrementale tende a −∞-\infty da sinistra e a +∞+\infty da destra.

Diagramma TikZ

4.3 Valore assoluto: punto angoloso

Consideriamo f(x)=∣x∣={x,x≥0,−x,x<0.f(x)=|x|= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases} Per x≠0x\ne 0 la derivata è f′(x)={1,x>0,−1,x<0.f'(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} In 00 si deve invece studiare il rapporto incrementale: f(x)−f(0)x−0=∣x∣x,x≠0.\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{|x|}{x},\qquad x\ne 0.f(x)−f(0)x−0=∣x∣x,x≠0.\begin{gathered}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{|x|}{x},\\[0.5em]x\ne 0.\end{gathered} Si ottiene f+′(0)=lim⁡x→0+xx=1,f−′(0)=lim⁡x→0−−xx=−1.\begin{aligned} f'_+(0)&=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=1,\\ f'_-(0)&=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=-1. \end{aligned} Poiché le due derivate laterali sono diverse, f′(0)f'(0) non esiste: l’origine è un punto angoloso.

Diagramma TikZ

4.4 Esempio conclusivo: funzione definita a tratti

Consideriamo la funzione f(x)={x2−x,x≤0,x2+x,x>0.f(x)= \begin{cases} x^2-x, & x\le 0,\\ x^2+x, & x>0. \end{cases} Per x≠0x\ne 0, derivando separatamente le due espressioni, f′(x)={2x−1,x<0,2x+1,x>0.\boxed{ f'(x)= \begin{cases} 2x-1, & x<0,\\ 2x+1, & x>0. \end{cases}}

Diagramma TikZ