Legame tra derivabilità e continuità

1 Legame tra derivabilità e continuità

In simboli, $$f\text{ derivabile in }x_0\implies f\text{ continua in }x_0.$$ L’implicazione inversa non vale in generale: $f(x)=|x|$ è continua in $0$ ma non è derivabile in $0$. Non si può quindi sostituire $\implies$ con $\iff$.

2 Calcolo delle derivate

2.1 Funzione costante

Sia $f(x)=c$, con $c\in\mathbb{R}$. Per ogni $x_0\in\mathbb{R}$, $$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}\frac{c-c}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}0 =0.$$ Quindi $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}c=0}\endgroup .$$

2.2 Funzione identità

Sia $f(x)=x$. Si ha $$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}1 =1.$$ Pertanto $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}x=1}\endgroup .$$

2.3 Funzione $f(x)=ax$

Sia $f(x)=ax$, con $a\in\mathbb{R}$. Allora $$\begin{aligned} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{ax-ax_0}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{a(x-x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}a =a. \end{aligned}$$ Dunque $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}(ax)=a}\endgroup .$$

2.4 Funzione quadrato

Sia $f(x)=x^2$. Scomponendo la differenza di quadrati, $$\begin{aligned} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0}(x+x_0) =2x_0. \end{aligned}$$ Quindi $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}x^2=2x}\endgroup .$$

2.5 Funzione cubo

Sia $f(x)=x^3$. Utilizzando la scomposizione $$x^3-x_0^3=(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2),$$ si ottiene $$\begin{aligned} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0}(x^2+xx_0+x_0^2) =3x_0^2. \end{aligned}$$ Pertanto $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}x^3=3x^2}\endgroup .$$

2.6 Funzione reciproca

Sia $$f(x)=x^{-1}=\frac1x, \qquad x\neq0.$$$$\begin{gathered}f(x)=x^{-1}=\frac1x,\\[0.5em]x\neq0.\end{gathered}$$ Per $x_0\neq0$, $$\begin{aligned} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0} \frac{\frac1x-\frac1{x_0}}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{x_0-x}{xx_0(x-x_0)}\\ &= \lim_{x\to x_0}\left(-\frac1{xx_0}\right) = -\frac1{x_0^2}. \end{aligned}$$ Quindi $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}x^{-1} =-x^{-2} =-\frac 1{x^2} }\endgroup .$$

2.7 Radice quadrata

Sia $$f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}.$$ Per $x_0>0$, razionalizzando il numeratore si ottiene $$\begin{aligned} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\\ &= \lim_{x\to x_0} \frac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &= \lim_{x\to x_0}\frac1{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} = \frac1{2\sqrt{x_0}}. \end{aligned}$$ Pertanto, per $x>0$, $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{x} =\frac 1{2\sqrt{x}} =\frac 12x^{-1/2} }\endgroup .$$

2.8 Logaritmo naturale

Sia $f(x)=\log x$, con $x>0$, dove $\log$ indica il logaritmo naturale. Ponendo $h=x-x_0$, il rapporto incrementale assume la forma $$f'(x_0) = \lim_{h\to0} \frac{\log(x_0+h)-\log x_0}{h}.$$ Dalle proprietà dei logaritmi, $$\frac{\log(x_0+h)-\log x_0}{h} = \frac1h\log\left(1+\frac{h}{x_0}\right).$$ Inoltre, $$\frac1h\log\left(1+\frac{h}{x_0}\right) = \frac1{x_0} \log\left[ \left(1+\frac{h}{x_0}\right)^{x_0/h} \right].$$ Poiché $$\lim_{h\to0} \left(1+\frac{h}{x_0}\right)^{x_0/h} =e,$$ segue che $$f'(x_0)=\frac1{x_0}\log e=\frac1{x_0}.$$ Dunque $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\log x=\frac 1x}\endgroup , \qquad x>0.$$$$\begin{gathered} \begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\log x=\frac 1x}\endgroup ,\\[0.5em]x>0.\end{gathered}$$

2.9 Funzione esponenziale

Sia $f(x)=e^x$. Si ha $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{e^xe^h-e^x}{h}\\ &= e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h} =e^x. \end{aligned}$$ Quindi $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}e^x=e^x}\endgroup .$$

2.10 Funzione seno

Sia $f(x)=\sin x$. Utilizzando la formula di addizione, $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \left[ \sin x\,\frac{\cos h-1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \right]. \end{aligned}$$ Poiché $$\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$$ e $$\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h} = -\lim_{h\to0} \left( h\,\frac{1-\cos h}{h^2} \right) =0,$$ si conclude che $$f'(x)=\sin x\cdot0+\cos x\cdot1=\cos x.$$ Pertanto $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x}\endgroup .$$

2.11 Funzione coseno

Sia $f(x)=\cos x$. Dalla formula di addizione, $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \left[ \cos x\,\frac{\cos h-1}{h} - \sin x\,\frac{\sin h}{h} \right]\\ &= \cos x\cdot0-\sin x\cdot1 =-\sin x. \end{aligned}$$ Quindi $$\begingroup\color{accento}\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x}\endgroup .$$

3 Regole di derivazione

3.1 Derivata della somma

3.2 Derivata del prodotto

3.3 Derivata del prodotto per una costante