Derivate, estremi e teorema di Lagrange

1 Esempi di derivabilità nell’origine

Esempio 1. Consideriamo la funzione

$f(x)= \begin{cases} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right),&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases}$

Per $x\ne0$ , applicando le regole di derivazione, otteniamo

$\begin{aligned} f'(x) &=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) +x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right) \left(-\frac{1}{x^2}\right)\\ &=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) -\cos\left(\frac{1}{x}\right). \end{aligned}$

Il limite della derivata per $x\to0$ non esiste. Infatti,

$\lim_{x\to0}2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0,$

mentre $\cos(1/x)$ non ammette limite per $x\to0$ .

Per calcolare la derivata nell’origine occorre invece usare la definizione:

$\begin{aligned} f'(0) &=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ &=\lim_{x\to0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0. \end{aligned}$

La funzione è dunque derivabile anche in $0$ , ma la sua derivata non è continua in tale punto.

Esempio 2. Consideriamo ora

$f(x)= \begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right),&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases}$

Il rapporto incrementale nell’origine è

$\begin{aligned} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} &=\frac{x\sin(1/x)}{x}\\ &=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\ne0. \end{aligned}$

Poiché $\lim_{x\to0}\sin(1/x)$ non esiste, la funzione non è derivabile in $0$ .

2 Estremi locali e teorema di Fermat

2.1 Estremi locali e assoluti

Una funzione definita su tutto $\mathbb{R}$ può avere punti di minimo e di massimo locale senza avere un minimo o un massimo assoluto sul proprio dominio. Nel grafico sono indicati un punto di minimo locale $x_1$ e un punto di massimo locale $x_2$ , con tangenti orizzontali.

2.2 Teorema di Fermat

Per una funzione derivabile in un punto interno $x_0$ del dominio, il verso dell’implicazione di Fermat è $x_0\text{ estremo locale di }f\implies f'(x_0)=0.$ La condizione sulla derivata è necessaria; non è sufficiente.

Teorema 1 (Fermat). Sia $f$ una funzione definita in un intorno di $x_0$ e derivabile in $x_0$ . Se $x_0$ è un punto di massimo o di minimo locale per $f$ , allora

$f'(x_0)=0.$

Dimostrazione. Consideriamo il caso in cui $x_0$ sia un punto di minimo locale. Esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che

$f(x)\ge f(x_0) \qquad\text{per ogni }x\in I.$

Quindi $f(x)-f(x_0)\ge0$ e il segno del rapporto incrementale dipende dal denominatore:

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \begin{cases} \ge0,&x>x_0,\\ \le0,&x<x_0. \end{cases}$

Passando ai limiti destro e sinistro, otteniamo

$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&\ge0,\\ \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&\le0. \end{aligned}$

Poiché $f$ è derivabile in $x_0$ , i due limiti esistono, sono finiti e coincidono con $f'(x_0)$ . Devono quindi essere entrambi uguali a zero.

Nel caso di un massimo locale le disuguaglianze si invertono e si ottiene ancora $f'(x_0)=0$ . ◻

Esempio 3. La condizione $f'(x_0)=0$ non è sufficiente affinché $x_0$ sia un punto di estremo locale. Per la funzione

$f(x)=x^3$

si ha $f'(x)=3x^2$ e, in particolare, $f'(0)=0$ . Tuttavia, $0$ non è né un punto di minimo né un punto di massimo locale: è un punto di flesso a tangente orizzontale.

2.3 Estremi in punti di non derivabilità

Esempio 4. Consideriamo $f(x)=|x|$ . Per $x\ne0$ ,

$f'(x)= \begin{cases} 1,&x>0,\\ -1,&x<0, \end{cases} \qquad f'(x)=\frac{x}{|x|}.$

Nell’origine la funzione ha un minimo assoluto, ma non è derivabile: le pendenze dei due rami sono diverse.

Esempio 5. Per la funzione

$f(x)=\sqrt[3]{x^2},$

la derivata, per $x\ne0$ , è

$f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}.$

Il grafico presenta una cuspide nell’origine, dove la funzione ha un minimo assoluto e non è derivabile.

Esempio 6. La funzione

$f(x)=1-\sqrt[3]{x^2}$

ha invece una cuspide rivolta verso il basso. Nell’origine assume il valore $1$ e ha un massimo assoluto, pur non essendo derivabile.

2.4 Estremi del dominio e ricerca degli estremi

Esempio 7. Consideriamo $f(x)=x^2$ sull’intervallo $[2,3]$ . Il minimo assoluto è assunto in $x=2$ , con $f(2)=4$ , e il massimo assoluto in $x=3$ , con $f(3)=9$ . Entrambi si trovano agli estremi dell’intervallo.

Osservazione 1. Per una funzione definita su un intervallo, i punti di massimo e di minimo, relativi o assoluti, vanno cercati tra:

i punti stazionari, nei quali la derivata esiste ed è nulla;
i punti di non derivabilità;
gli estremi dell’intervallo che appartengono al dominio.

3 Teorema di Lagrange

Teorema 2 (Lagrange). Siano $a<b$ e $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una funzione continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$ . Allora esiste almeno un punto $c\in(a,b)$ tale che

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

La continuità sull’intervallo chiuso comprende la continuità da destra in $a$ e da sinistra in $b$ :

$\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \qquad \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b).$

3.1 Interpretazione geometrica

Il rapporto

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

è il coefficiente angolare della retta secante che passa per i punti

$P=(a,f(a)), \qquad Q=(b,f(b)).$

Il teorema afferma che esiste almeno un punto interno $c$ nel quale la tangente al grafico è parallela alla secante $PQ$ .

Il punto $c$ non è necessariamente unico: possono esistere più punti nei quali la tangente è parallela alla medesima secante.

3.2 Funzioni con derivata nulla

Corollario 1. Sia $I$ un intervallo e sia $f:I\to\mathbb{R}$ continua su $I$ e derivabile nei punti interni di $I$ . Se $f'(x)=0$ in ogni punto interno di $I$ , allora $f$ è costante su $I$ .

Dimostrazione. Siano $x_1,x_2\in I$ , con $x_1<x_2$ . Poiché $I$ è un intervallo, $[x_1,x_2]\subseteq I$ . Per il teorema di Lagrange esiste $c\in(x_1,x_2)$ tale che

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)=0.$

Quindi $f(x_2)=f(x_1)$ . Poiché i due punti sono arbitrari, $f$ è costante su $I$ . ◻

4 Derivata e monotonia

4.1 L’importanza dell’ipotesi di intervallo

Osservazione 2. Consideriamo l’insieme

$A=[1,2]\cup[3,4].$

Se una funzione definita su $A$ soddisfa

$f'(x)=0 \qquad\text{per ogni }x\in(1,2)\cup(3,4),$

non possiamo concludere che sia costante su tutto $A$ . Infatti, $A$ non è un intervallo: non è possibile applicare il teorema di Lagrange tra un punto del primo intervallo e un punto del secondo.

Il grafico seguente illustra tratti crescenti e decrescenti separati da un massimo locale e da un minimo locale.

4.2 Derivata non negativa e funzione crescente

Teorema 3. Sia $I$ un intervallo e sia $f:I\to\mathbb{R}$ continua su $I$ e derivabile nei suoi punti interni. Se

$f'(x)\ge0 \qquad\text{per ogni punto interno }x\text{ di }I,$

allora $f$ è crescente su $I$ , nel senso che

$x_1<x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\le f(x_2).$

Dimostrazione. Siano $x_1,x_2\in I$ , con $x_1<x_2$ . Dobbiamo mostrare che $f(x_1)\le f(x_2)$ .

Applichiamo il teorema di Lagrange all’intervallo $[x_1,x_2]$ . Esiste un punto $c\in(x_1,x_2)$ tale che

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)\ge0.$

Poiché $x_2-x_1>0$ , segue che

$f(x_2)-f(x_1)\ge0,$

ossia $f(x_1)\le f(x_2)$ . ◻

Esempio 8. La funzione $f(x)=x^3$ ha derivata

$f'(x)=3x^2\ge0 \qquad\text{per ogni }x\in\mathbb{R}.$

È quindi crescente su tutto $\mathbb{R}$ , anche se $f'(0)=0$ .

4.3 Funzione crescente e segno della derivata

Teorema 4. Se $f$ è crescente su un intervallo $I$ ed è derivabile nei punti interni di $I$ , allora

$f'(x)\ge0 \qquad\text{per ogni punto interno }x\text{ di }I.$

Dimostrazione. Fissiamo un punto interno $x_0$ di $I$ . Se $x>x_0$ , la crescenza implica $f(x)\ge f(x_0)$ , perciò

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge0.$

Se invece $x<x_0$ , si ha $f(x)\le f(x_0)$ : numeratore e denominatore sono entrambi non positivi, con denominatore strettamente negativo, e quindi il rapporto incrementale è ancora non negativo.

In conclusione,

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge0 \qquad\text{per ogni }x\in I,\ x\ne x_0.$

Passando al limite e usando la derivabilità in $x_0$ , otteniamo

$f'(x_0) =\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ge0.$

Poiché $x_0$ è un punto interno arbitrario, la tesi è dimostrata. ◻