Gli asintoti e concetto di continuità

Il limite lim⁡x→0+xlog⁡x\lim_{x\to0^+}x\log x presenta la forma indeterminata 0⋅(−∞)0\cdot(-\infty). Ponendo y=1/xy=1/x, si ha y→+∞y\to+\infty e quindi lim⁡x→0+xlog⁡x=lim⁡y→+∞1ylog⁡(1y)=−lim⁡y→+∞log⁡yy=0.\lim_{x\to0^+}x\log x =\lim_{y\to+\infty}\frac1y\log\left(\frac1y\right) =-\lim_{y\to+\infty}\frac{\log y}{y}=0.

1 Asintoti

1.1 Asintoto verticale

Definizione 1. La retta x=x0x=x_0 è un asintoto verticale di ff se almeno uno dei limiti laterali in x0x_0 è infinito: (lim⁡x→x0−f(x)=+∞)∨(lim⁡x→x0−f(x)=−∞)∨(lim⁡x→x0+f(x)=+∞)∨(lim⁡x→x0+f(x)=−∞).\begin{aligned} &\left(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty\right) \lor\left(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty\right)\\ &\quad\lor\left(\lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty\right) \lor\left(\lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty\right). \end{aligned} Si considerano i limiti laterali per i quali x0x_0 è un punto di accumulazione del dominio dal lato corrispondente.

Diagramma TikZ

1.2 Asintoto orizzontale

Definizione 2. La retta y=ℓy=\ell, con ℓ∈R\ell\in\mathbb{R}, è un asintoto orizzontale per x→+∞x\to+\infty se lim⁡x→+∞f(x)=ℓ.\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell. Analogamente, è un asintoto orizzontale per x→−∞x\to-\infty se lim⁡x→−∞f(x)=ℓ.\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell.

Esempio 1. Per la funzione f(x)=2+sin⁡xx,x≠0,f(x)=2+\frac{\sin x}{x},\qquad x\ne0,f(x)=2+sin⁡xx,x≠0,\begin{gathered}f(x)=2+\frac{\sin x}{x},\\[0.5em]x\ne0,\end{gathered} si ha lim⁡x→+∞f(x)=2.\lim_{x\to+\infty}f(x)=2. Pertanto y=2y=2 è un asintoto orizzontale.

Diagramma TikZ

Esempio 2. La funzione f(x)=x∣x∣+1x={1+1x,x>0,−1+1x,x<0f(x)=\frac{x}{|x|}+\frac1x =\begin{cases} 1+\dfrac1x,&x>0,\\[4pt] -1+\dfrac1x,&x<0 \end{cases} soddisfa lim⁡x→+∞f(x)=1,lim⁡x→−∞f(x)=−1.\lim_{x\to+\infty}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1.lim⁡x→+∞f(x)=1,lim⁡x→−∞f(x)=−1.\begin{gathered}\lim_{x\to+\infty}f(x)=1,\\[0.5em]\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1.\end{gathered} Gli asintoti orizzontali sono dunque y=1y=1 e y=−1y=-1, rispettivamente per x→+∞x\to+\infty e per x→−∞x\to-\infty.

Diagramma TikZ

1.3 Asintoto obliquo

Definizione 3. La retta y=mx+py=mx+p, con m≠0m\ne0, è un asintoto obliquo per x→+∞x\to+\infty se lim⁡x→+∞[f(x)−mx−p]=0.\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-mx-p\bigr]=0. La definizione per x→−∞x\to-\infty è analoga.

Calcolo di mm e pp

Dalla condizione precedente segue lim⁡x→+∞f(x)−mx−px=0,lim⁡x→+∞[f(x)x−m−px]=0.\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-mx-p}{x}&=0,\\ \lim_{x\to+\infty}\left[\frac{f(x)}x-m-\frac px\right]&=0. \end{aligned} Poiché p/x→0p/x\to0, si ottiene

m=lim⁡x→+∞f(x)x,p=lim⁡x→+∞[f(x)−mx].m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x, \qquad p=\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-mx\bigr].m=lim⁡x→+∞f(x)x,p=lim⁡x→+∞[f(x)−mx].\begin{gathered}m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x,\\[0.5em]p=\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-mx\bigr].\end{gathered}

Per avere un asintoto obliquo, mm deve essere finito e diverso da zero e pp deve essere finito.

Esempio 3. Per f(x)=log⁡xf(x)=\log x si ha lim⁡x→+∞log⁡x=+∞,m=lim⁡x→+∞log⁡xx=0.\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty, \qquad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{\log x}{x}=0.lim⁡x→+∞log⁡x=+∞,m=lim⁡x→+∞log⁡xx=0.\begin{gathered}\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty,\\[0.5em]m=\lim_{x\to+\infty}\frac{\log x}{x}=0.\end{gathered} Poiché m=0m=0, non esiste un asintoto obliquo per x→+∞x\to+\infty.

Esempio 4. Sia f(x)=x+sin⁡xx,x≠0.f(x)=x+\frac{\sin x}{x},\qquad x\ne0.f(x)=x+sin⁡xx,x≠0.\begin{gathered}f(x)=x+\frac{\sin x}{x},\\[0.5em]x\ne0.\end{gathered} Si ha lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty e m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(1+sin⁡xx2)=1,p=lim⁡x→+∞[f(x)−x]=lim⁡x→+∞sin⁡xx=0.\begin{aligned} m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\sin x}{x^2}\right)=1,\\ p&=\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-x\bigr] =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0. \end{aligned} Pertanto l’asintoto obliquo è y=xy=x.

Diagramma TikZ

Esercizio: f(x)=x2−xf(x)=\sqrt{x^2-x}

Il dominio si ricava dalla condizione x(x−1)≥0⟺(x≤0)∨(x≥1).x(x-1)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x\le0)\lor(x\ge1).x(x−1)≥0⟺(x≤0)∨(x≥1).\begin{gathered}x(x-1)\ge0\\[0.5em]\Longleftrightarrow\\[0.5em](x\le0)\lor(x\ge1).\end{gathered} Quindi Dom(f)=(−∞,0]∪[1,+∞).\mathop{\mathrm{Dom}}(f)=(-\infty,0]\cup[1,+\infty). Per x→+∞x\to+\infty, si ha f(x)→+∞f(x)\to+\infty e m=lim⁡x→+∞x2−xx=lim⁡x→+∞x1−1/xx=lim⁡x→+∞1−1x=1,p=lim⁡x→+∞(x2−x−x)=lim⁡x→+∞−xx2−x+x=lim⁡x→+∞−11−1/x+1=−12.\begin{aligned} m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2-x}}x =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\sqrt{1-1/x}}x =\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1-\frac1x}=1,\\ p&=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-x}-x\right)\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{\sqrt{1-1/x}+1} =-\frac12. \end{aligned} L’asintoto obliquo per x→+∞x\to+\infty è dunque y=x−12.\boxed{y=x-\frac12}.

Diagramma TikZ

2 Funzioni continue

Definizione 4. Una funzione ff è continua in x0∈Dom(f)x_0\in\mathop{\mathrm{Dom}}(f) se

lim⁡x→x0f(x)=f(x0).\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Esempio 5. Sia f(x)={1,x≥3,2,x<3.f(x)=\begin{cases} 1,&x\ge3,\\ 2,&x<3. \end{cases} Si ha f(3)=1f(3)=1, mentre lim⁡x→3+f(x)=1,lim⁡x→3−f(x)=2.\lim_{x\to3^+}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to3^-}f(x)=2.lim⁡x→3+f(x)=1,lim⁡x→3−f(x)=2.\begin{gathered}\lim_{x\to3^+}f(x)=1,\\[0.5em]\lim_{x\to3^-}f(x)=2.\end{gathered} I limiti laterali sono diversi; pertanto il limite in 33 non esiste e ff non è continua in x0=3x_0=3.

Diagramma TikZ

Esempio 6. La funzione f(x)=1x,Dom(f)=R∖{0},f(x)=\frac1x,\qquad \mathop{\mathrm{Dom}}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},f(x)=1x,Dom(f)=R∖{0},\begin{gathered}f(x)=\frac1x,\\[0.5em]\mathop{\mathrm{Dom}}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\end{gathered} è continua in tutto il proprio dominio. Il punto 00 non appartiene al dominio.

Diagramma TikZ

Esempio 7. La funzione g(x)={1x,x≠0,2,x=0ha dominio R.g(x)=\begin{cases} \dfrac1x,&x\ne0,\\[4pt] 2,&x=0 \end{cases} \qquad\text{ha dominio }\mathbb{R}. Essa non è continua in 00: il valore g(0)=2g(0)=2 non coincide con il limite, che non esiste, poiché lim⁡x→0−g(x)=−∞,lim⁡x→0+g(x)=+∞.\lim_{x\to0^-}g(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty.lim⁡x→0−g(x)=−∞,lim⁡x→0+g(x)=+∞.\begin{gathered}\lim_{x\to0^-}g(x)=-\infty,\\[0.5em]\lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty.\end{gathered}

Diagramma TikZ

2.1 Prolungamento per continuità

Esempio 8. La funzione f(x)=sin⁡xx,Dom(f)=R∖{0},f(x)=\frac{\sin x}{x},\qquad \mathop{\mathrm{Dom}}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},f(x)=sin⁡xx,Dom(f)=R∖{0},\begin{gathered}f(x)=\frac{\sin x}{x},\\[0.5em]\mathop{\mathrm{Dom}}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\end{gathered} è continua nel proprio dominio. Consideriamo g(x)={sin⁡xx,x≠0,a,x=0.g(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x},&x\ne0,\\[4pt] a,&x=0. \end{cases} Poiché lim⁡x→0g(x)=lim⁡x→0sin⁡xx=1,\lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1, la scelta a=1a=1 rende gg continua anche in 00. La funzione ff è dunque prolungabile per continuità in 00.

Diagramma TikZ

Esempio 9. La funzione f(x)=sin⁡(1x),Dom(f)=R∖{0},f(x)=\sin\left(\frac1x\right), \qquad \mathop{\mathrm{Dom}}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},f(x)=sin⁡(1x),Dom(f)=R∖{0},\begin{gathered}f(x)=\sin\left(\frac1x\right),\\[0.5em]\mathop{\mathrm{Dom}}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\end{gathered} non è prolungabile per continuità in 00, poiché il limite in 00 non esiste. In particolare, la funzione g(x)={sin⁡(1x),x≠0,0,x=0g(x)=\begin{cases} \sin\left(\dfrac1x\right),&x\ne0,\\[4pt] 0,&x=0 \end{cases} non è continua in 00.

3 Proprietà delle funzioni continue

3.1 Teorema di Weierstrass

Teorema 1 (Weierstrass). Se ff è continua su un intervallo chiuso e limitato A=[a,b]A=[a,b], allora ammette massimo e minimo assoluti su AA: max⁡x∈Af(x),min⁡x∈Af(x).\max_{x\in A}f(x),\qquad \min_{x\in A}f(x).max⁡x∈Af(x),min⁡x∈Af(x).\begin{gathered}\max_{x\in A}f(x),\\[0.5em]\min_{x\in A}f(x).\end{gathered}

L’implicazione del teorema non è invertibile.

Continuità agli estremi dell’intervallo

Agli estremi di [a,b][a,b], la continuità si esprime mediante i limiti laterali interni all’intervallo:

lim⁡x→a+f(x)=f(a),lim⁡x→b−f(x)=f(b).\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \qquad \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b).lim⁡x→a+f(x)=f(a),lim⁡x→b−f(x)=f(b).\begin{gathered}\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a),\\[0.5em]\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b).\end{gathered}

Diagramma TikZ