1 Basi di uno spazio vettoriale

Definizione 1 (Base). Sia VV uno spazio vettoriale sul campo K\mathbb{K}. I vettori v1,v2,…,vn∈V\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_n\in V costituiscono una base di VV se:

  1. sono generatori di VV, cioè V=span⁡{v1,…,vn}V=\operatorname{span}\{\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_n\};

  2. sono linearmente indipendenti, ossia ∀(α1,…,αn)∈Kn:α1v1+⋯+αnvn=0⟹α1=⋯=αn=0.\forall(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{K}^n:\quad \alpha_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+\alpha_n\boldsymbol{v}_n=\boldsymbol{0} \quad\Longrightarrow\quad \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0.∀(α1,…,αn)∈Kn:α1v1+⋯+αnvn=0⟹α1=⋯=αn=0.\begin{gathered}\forall(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{K}^n:\\[0.5em]\alpha_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+\alpha_n\boldsymbol{v}_n=\boldsymbol{0}\\[0.5em]\Longrightarrow\\[0.5em]\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0.\end{gathered}

Una base è dunque un sistema di generatori linearmente indipendenti. Le due condizioni devono valere entrambe: indicando con B\mathcal B la famiglia dei vettori, B eˋ una base di V  ⟺  (V=span⁡B)∧(B eˋ linearmente indipendente).\begin{aligned} &\mathcal B\text{ è una base di }V\\ &\quad\iff\bigl(V=\operatorname{span}\mathcal B\bigr) \land\bigl(\mathcal B\text{ è linearmente indipendente}\bigr). \end{aligned}

2 Base canonica di Rn\mathbb{R}^n

Nello spazio vettoriale Rn\mathbb{R}^n si considera la base canonica E={e1,e2,…,en},\mathcal E=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\ldots,\boldsymbol{e}_n\}, dove ei\boldsymbol{e}_i ha la ii-esima componente uguale a 11 e tutte le altre nulle: e1=(10⋮0),e2=(01⋮0),…,en=(00⋮1).\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},\qquad \ldots,\qquad \boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}. In particolare, in R2\mathbb{R}^2 la base canonica è {(10),(01)},\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right\}, mentre in R3\mathbb{R}^3 è {(100),(010),(001)}.\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}. La matrice che ha per colonne i vettori della base canonica è la matrice identità: In=(10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1)=[e1 e2 ⋯ en].I_n=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}=[\boldsymbol{e}_1\ \boldsymbol{e}_2\ \cdots\ \boldsymbol{e}_n].

2.1 Dimostrazione che la base canonica è una base

Dimostrazione. Verifichiamo le due condizioni della definizione.

1. I vettori canonici generano Rn\mathbb{R}^n. Sia v=(x1x2⋮xn)∈Rn.\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^n. Cerchiamo α1,…,αn∈R\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{R} tali che α1e1+α2e2+⋯+αnen=v.\alpha_1\boldsymbol{e}_1+\alpha_2\boldsymbol{e}_2+\cdots+\alpha_n\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{v}. Sostituendo le componenti dei vettori canonici, otteniamo (α1α2⋮αn)=(x1x2⋮xn),\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}, da cui αi=xi\alpha_i=x_i per ogni i=1,…,ni=1,\ldots,n. Pertanto ogni vettore di Rn\mathbb{R}^n è combinazione lineare dei vettori canonici, quindi Rn=span⁡{e1,…,en}.\mathbb{R}^n=\operatorname{span}\{\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n\}.

2. I vettori canonici sono linearmente indipendenti. Consideriamo α1e1+⋯+αnen=0.\alpha_1\boldsymbol{e}_1+\cdots+\alpha_n\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}. Per confronto delle componenti, (α1⋮αn)=(0⋮0)⟹α1=⋯=αn=0.\begin{pmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0. L’indipendenza si riconosce anche dalla matrice identità: rg⁡(In)=n\operatorname{rg}(I_n)=n e il sistema omogeneo Inα=0I_n\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} ha la sola soluzione nulla.

Le due condizioni sono soddisfatte: E\mathcal E è una base di Rn\mathbb{R}^n. ◻

3 Unicità delle coordinate

Proposizione 2 (Unicità delle coordinate rispetto a una base). Sia B={v1,…,vn}\mathcal B=\{\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_n\} una base di uno spazio vettoriale VV su K\mathbb{K}. Per ogni v∈V\boldsymbol{v}\in V esistono unici scalari α1,…,αn∈K\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{K} tali che v=α1v1+⋯+αnvn.\boldsymbol{v}=\alpha_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+\alpha_n\boldsymbol{v}_n. Gli scalari α1,…,αn\alpha_1,\ldots,\alpha_n sono le coordinate di v\boldsymbol{v} rispetto alla base B\mathcal B.

Dimostrazione. Poiché B\mathcal B è un insieme di generatori, per ogni v∈V\boldsymbol{v}\in V esiste almeno una rappresentazione v=α1v1+⋯+αnvn. \boldsymbol{v}=\alpha_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+\alpha_n\boldsymbol{v}_n. (1) Supponiamo che esista un’altra rappresentazione dello stesso vettore: v=β1v1+⋯+βnvn. \boldsymbol{v}=\beta_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+\beta_n\boldsymbol{v}_n. (2) Sottraendo (2) da (1), si ottiene 0=(α1−β1)v1+⋯+(αn−βn)vn.\boldsymbol{0}=(\alpha_1-\beta_1)\boldsymbol{v}_1+\cdots+(\alpha_n-\beta_n)\boldsymbol{v}_n. Poiché i vettori della base sono linearmente indipendenti, tutti i coefficienti devono essere nulli: αi−βi=0(i=1,…,n).\alpha_i-\beta_i=0\quad(i=1,\ldots,n).αi−βi=0(i=1,…,n).\begin{gathered}\alpha_i-\beta_i=0\\[0.5em](i=1,\ldots,n).\end{gathered} Ne segue αi=βi\alpha_i=\beta_i per ogni ii: le coordinate sono uniche. ◻

4 Esercizio: una base di un sottospazio di R3\mathbb{R}^3

Esempio 3. Consideriamo il sottospazio vettoriale G={(aa+bb):a,b∈R}⊆R3G=\left\{\begin{pmatrix}a\\a+b\\b\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\}\subseteq\mathbb{R}^3 e i vettori v1=(121),v2=(−112).\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}. Verifichiamo che {v1,v2}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\} è una base di GG.

Indipendenza lineare. Consideriamo λ1v1+λ2v2=0.\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{0}. Il sistema associato è {λ1−λ2=0,2λ1+λ2=0,λ1+2λ2=0.\begin{cases} \lambda_1-\lambda_2=0,\\ 2\lambda_1+\lambda_2=0,\\ \lambda_1+2\lambda_2=0. \end{cases} Le prime due equazioni implicano λ1=λ2=0\lambda_1=\lambda_2=0, dunque i vettori sono linearmente indipendenti.

Generazione di GG. Per ogni v∈G\boldsymbol{v}\in G cerchiamo λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2 tali che λ1(121)+λ2(−112)=(aa+bb).\lambda_1\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} +\lambda_2\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\\a+b\\b\end{pmatrix}. Il sistema è {λ1−λ2=a,2λ1+λ2=a+b,λ1+2λ2=b.\begin{cases} \lambda_1-\lambda_2=a,\\ 2\lambda_1+\lambda_2=a+b,\\ \lambda_1+2\lambda_2=b. \end{cases} La matrice completa si riduce come segue: [1−1a21a+b12b]→R2←R2−2R1R3←R3−R1[1−1a03b−a03b−a]→R3←R3−R2[1−1a03b−a000].\begin{aligned} \left[\begin{array}{cc|c} 1&-1&a\\2&1&a+b\\1&2&b \end{array}\right] &\xrightarrow{\substack{R_2\gets R_2-2R_1\\R_3\gets R_3-R_1}} \left[\begin{array}{cc|c} 1&-1&a\\0&3&b-a\\0&3&b-a \end{array}\right]\\[3pt] &\xrightarrow{R_3\gets R_3-R_2} \left[\begin{array}{cc|c} 1&-1&a\\0&3&b-a\\0&0&0 \end{array}\right]. \end{aligned} Per ogni a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} si ha rg⁡(A)=rg⁡(A∣v)=2\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\mid\boldsymbol{v})=2: il sistema ammette un’unica soluzione, λ2=b−a3,λ1=2a+b3.\lambda_2=\frac{b-a}{3},\qquad \lambda_1=\frac{2a+b}{3}.λ2=b−a3,λ1=2a+b3.\begin{gathered}\lambda_2=\frac{b-a}{3},\\[0.5em]\lambda_1=\frac{2a+b}{3}.\end{gathered} Quindi ogni vettore di GG è combinazione lineare di v1\boldsymbol{v}_1 e v2\boldsymbol{v}_2. Essendo anche linearmente indipendenti, essi costituiscono una base di GG: BG={(121),(−112)}.\boxed{\mathcal B_G=\left\{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\right\}.}