Generatori di un sottospazio vettoriale

1 Generatori di un sottospazio vettoriale

I generatori sono vettori le cui combinazioni lineari permettono di ottenere tutti i vettori di un sottospazio vettoriale.

In altre parole, $$\boxed{\quad v_1,\ldots,v_n\text{ sono generatori di }V \iff V=\mathop{\mathrm{Span}}(v_1,\ldots,v_n).\quad}$$ La nozione di generatori esprime quindi la stessa relazione descritta dallo span, attribuendo un nome ai vettori che generano il sottospazio.

1.1 Esempio: due vettori in $\mathbb{R}^3$

Consideriamo $$v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \qquad v_2=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}.$$ Vogliamo verificare se $v_1,v_2$ sono generatori di $\mathbb{R}^3$, ossia se $\mathop{\mathrm{Span}}(v_1,v_2)=\mathbb{R}^3$.

Un generico vettore di $\mathbb{R}^3$ è $$v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\qquad x,y,z\in\mathbb{R}.$$ Occorre verificare se esistono $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}$ tali che $$\alpha_1v_1+\alpha_2v_2=v.$$ Le incognite sono $\alpha_1$ e $\alpha_2$. Sviluppando la combinazione lineare, otteniamo $$\begin{aligned} \alpha_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}\alpha_1\\-\alpha_1\\0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\alpha_2\\0\\0\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}\alpha_1+2\alpha_2\\-\alpha_1\\0\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}. \end{aligned}$$ Due vettori di $\mathbb{R}^3$ sono uguali se hanno tutte le componenti uguali. Si ottiene dunque il sistema lineare $$\begin{cases} \alpha_1+2\alpha_2=x,\\ -\alpha_1=y,\\ 0=z. \end{cases}$$ Il sistema è incompatibile quando $z\ne0$. La condizione di appartenenza si può scrivere come $$v\in\mathop{\mathrm{Span}}(v_1,v_2)\iff z=0.$$

Scrivendo la matrice completa e applicando $R_2\leftarrow R_2+R_1$, si ottiene $$\left[\begin{array}{cc|c} 1&2&x\\-1&0&y\\0&0&z \end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c} 1&2&x\\0&2&x+y\\0&0&z \end{array}\right].$$ Le colonne della matrice dei coefficienti sono i vettori di cui vogliamo verificare la proprietà di essere generatori: $$A=\begin{bmatrix}v_1&v_2\end{bmatrix}, \qquad A_c=\begin{bmatrix}v_1&v_2&v\end{bmatrix}.$$ Se $z\ne0$, allora $$\mathop{\mathrm{rg}}(A)=2\ne3=\mathop{\mathrm{rg}}(A_c).$$ Il sistema ammette soluzioni soltanto per $z=0$, per ogni $x,y\in\mathbb{R}$. Pertanto $$\boxed{\quad \mathop{\mathrm{Span}}(v_1,v_2)= \left\{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}:x,y\in\mathbb{R}\right\} \ne\mathbb{R}^3. \quad}$$ I vettori $v_1,v_2$ non sono generatori di $\mathbb{R}^3$: generano un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$, precisamente un piano nello spazio tridimensionale.

1.2 Esempio: tre vettori in $\mathbb{R}^2$

Consideriamo $$v_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.$$ Vogliamo verificare se $\mathop{\mathrm{Span}}(v_1,v_2,v_3)=\mathbb{R}^2$. Per un generico vettore $v=(x,y)^{\mathsf T}$ cerchiamo $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}$ tali che $$\begin{aligned} \alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3&=v,\\ \alpha_1\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} +\alpha_3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\\2\alpha_1+\alpha_2\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}. \end{aligned}$$ Quindi $$\begin{cases} \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=x,\\ 2\alpha_1+\alpha_2=y, \end{cases} \qquad A_c=\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&x\\2&1&0&y \end{array}\right].$$ Per la proprietà commutativa della somma negli spazi vettoriali, possiamo scrivere la stessa combinazione lineare nell’ordine $$\alpha_3v_3+\alpha_2v_2+\alpha_1v_1=v.$$ Ordinando le colonne secondo le incognite $(\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1)$, la matrice completa diventa $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&x\\0&1&2&y \end{array}\right],$$ che è già in forma a scala. Per ogni $x,y\in\mathbb{R}$ si ha $$\mathop{\mathrm{rg}}(A)=\mathop{\mathrm{rg}}(A_c)=2.$$ Il sistema è compatibile e, avendo tre incognite e rango $2$, ammette infinite soluzioni con un parametro libero. Ne segue che $$\boxed{\quad\mathbb{R}^2=\mathop{\mathrm{Span}}(v_1,v_2,v_3).\quad}$$ La scelta dell’ordine dei termini nella combinazione lineare non cambia le soluzioni del sistema, ma può semplificare i calcoli.

1.3 Esempio: generatori di un sottospazio di $\mathbb{R}^3$

Consideriamo il sottospazio $$U=\left\{\begin{pmatrix}a\\a+b\\b\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\} \subseteq\mathbb{R}^3$$ e i vettori $$v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}.$$ Entrambi appartengono a $U$. Vogliamo verificare se sono generatori di $U$, cioè se $U=\mathop{\mathrm{Span}}(v_1,v_2)$.

Per ogni vettore $v\in U$ cerchiamo $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}$ tali che $$\alpha_1v_1+\alpha_2v_2=v.$$ Esplicitamente, $$\alpha_1\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\\a+b\\b\end{pmatrix} \iff \begin{cases} \alpha_1-\alpha_2=a,\\ 2\alpha_1+\alpha_2=a+b,\\ \alpha_1+2\alpha_2=b. \end{cases}$$ La riduzione della matrice completa dà $$\begin{aligned} \left[\begin{array}{cc|c} 1&-1&a\\2&1&a+b\\1&2&b \end{array}\right] &\xrightarrow[\;R_3\leftarrow R_3-R_1\;]{\;R_2\leftarrow R_2-2R_1\;} \left[\begin{array}{cc|c} 1&-1&a\\0&3&-a+b\\0&3&-a+b \end{array}\right]\\ &\xrightarrow{\;R_3\leftarrow R_3-R_2\;} \left[\begin{array}{cc|c} 1&-1&a\\0&3&-a+b\\0&0&0 \end{array}\right]. \end{aligned}$$ Per ogni $a,b\in\mathbb{R}$ si ha $\mathop{\mathrm{rg}}(A)=\mathop{\mathrm{rg}}(A_c)=2$; poiché le incognite sono due, il sistema ammette un’unica soluzione. Dal sistema a scala ricaviamo $$\begin{cases} \alpha_1-\alpha_2=a,\\ \alpha_2=\dfrac{-a+b}{3}, \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \alpha_1=a+\dfrac{-a+b}{3}=\dfrac{2a+b}{3},\\[6pt] \alpha_2=\dfrac{-a+b}{3}. \end{cases}$$ Dati $a$ e $b$, abbiamo quindi trovato i coefficienti della combinazione lineare. Pertanto $$\boxed{\quad U=\mathop{\mathrm{Span}}(v_1,v_2).\quad}$$

Per $a=3$ e $b=2$ otteniamo $$v=\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix},\qquad \alpha_1=2+\frac23=\frac83,\qquad \alpha_2=\frac{-3+2}{3}=-\frac13.$$ Verificando la combinazione lineare, $$\begin{aligned} \alpha_1v_1+\alpha_2v_2 &=\frac13\left[ 8\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\right]\\ &=\frac13\begin{pmatrix}9\\15\\6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}=v. \end{aligned}$$