1 Proprietà dei spazi vettoriali

1.1 Unicità dell’elemento opposto

Proposizione 1. In uno spazio vettoriale VV sul campo KK, ogni vettore v⃗∈V\vec{v}\in V possiede un unico elemento opposto, indicato con −v⃗-\vec{v}.

Esempio 2. Per i vettori v⃗=(12),w⃗=(−1−2),\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \qquad \vec{w}=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}, si ha v⃗+w⃗=(00).\vec{v}+\vec{w}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}. Pertanto w⃗\vec{w} è l’opposto di v⃗\vec{v}.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che v⃗\vec{v} abbia due opposti distinti w⃗\vec{w} e w⃗′\vec{w}'. Allora v⃗+w⃗=0⃗\vec{v}+\vec{w}=\vec{0} e v⃗+w⃗′=0⃗\vec{v}+\vec{w}'=\vec{0}. Usando l’associatività e la commutatività della somma, si ottiene w⃗=w⃗+0⃗=w⃗+(v⃗+w⃗′)=(w⃗+v⃗)+w⃗′=0⃗+w⃗′=w⃗′.\begin{aligned} \vec{w}&=\vec{w}+\vec{0}\\ &=\vec{w}+(\vec{v}+\vec{w}')\\ &=(\vec{w}+\vec{v})+\vec{w}'\\ &=\vec{0}+\vec{w}'\\ &=\vec{w}'. \end{aligned} Ciò contraddice l’ipotesi che i due opposti siano distinti. ◻

1.2 Legge di cancellazione

Proposizione 3. Sia VV uno spazio vettoriale sul campo KK. Per ogni x⃗,y⃗,z⃗∈V\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in V, x⃗+y⃗=x⃗+z⃗  ⟹  y⃗=z⃗.\vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+\vec{z}\implies \vec{y}=\vec{z}.

Dimostrazione. Sia −x⃗-\vec{x} l’opposto di x⃗\vec{x}, così che x⃗+(−x⃗)=0⃗\vec{x}+(-\vec{x})=\vec{0}. Allora y⃗=0⃗+y⃗=(x⃗+(−x⃗))+y⃗=(x⃗+y⃗)+(−x⃗)=(x⃗+z⃗)+(−x⃗)=(x⃗+(−x⃗))+z⃗=0⃗+z⃗=z⃗.\begin{aligned} \vec{y}&=\vec{0}+\vec{y}\\ &=(\vec{x}+(-\vec{x}))+\vec{y}\\ &=(\vec{x}+\vec{y})+(-\vec{x})\\ &=(\vec{x}+\vec{z})+(-\vec{x})\\ &=(\vec{x}+(-\vec{x}))+\vec{z}\\ &=\vec{0}+\vec{z}=\vec{z}. \end{aligned} ◻

1.3 Prodotto per lo scalare zero

Proposizione 4. Per ogni v⃗∈V\vec{v}\in V, si ha 0⋅v⃗=0⃗0\cdot \vec{v}=\vec{0}.

Dimostrazione. Per la proprietà distributiva, 0⋅v⃗=(0+0)⋅v⃗=0⋅v⃗+0⋅v⃗.0\cdot \vec{v}=(0+0)\cdot \vec{v}=0\cdot \vec{v}+0\cdot \vec{v}. Poiché 0⋅v⃗=0⋅v⃗+0⃗0\cdot \vec{v}=0\cdot \vec{v}+\vec{0}, segue che 0⋅v⃗+0⃗=0⋅v⃗+0⋅v⃗.0\cdot \vec{v}+\vec{0}=0\cdot \vec{v}+0\cdot \vec{v}. Applicando la legge di cancellazione, si ottiene 0⃗=0⋅v⃗\vec{0}=0\cdot \vec{v}. ◻

Esercizio 5. Dimostrare le seguenti proprietà:

  1. (−1)v⃗=−v⃗(-1)\vec{v}=-\vec{v}, dove −v⃗-\vec{v} è l’elemento opposto di v⃗\vec{v};

  2. se λv⃗=0⃗\lambda \vec{v}=\vec{0}, allora λ=0\lambda=0 oppure v⃗=0⃗\vec{v}=\vec{0}.

2 Sottospazi vettoriali

Definizione 6. Sia VV uno spazio vettoriale sul campo KK e sia U⊆VU\subseteq V un sottoinsieme non vuoto. UU è un sottospazio vettoriale di VV se sono soddisfatte le seguenti proprietà:

  1. Chiusura rispetto alla somma: ∀u⃗,v⃗∈U:u⃗+v⃗∈U.\forall\vec{u},\vec{v}\in U:\quad \vec{u}+\vec{v}\in U.∀u⃗,v⃗∈U:u⃗+v⃗∈U.\begin{gathered}\forall\vec{u},\vec{v}\in U:\\[0.5em]\vec{u}+\vec{v}\in U.\end{gathered}

  2. Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare: ∀u⃗∈U∀λ∈K:λu⃗∈U.\forall\vec{u}\in U\quad\forall\lambda\in K:\quad\lambda \vec{u}\in U.∀u⃗∈U∀λ∈K:λu⃗∈U.\begin{gathered}\forall\vec{u}\in U\\[0.5em]\forall\lambda\in K:\\[0.5em]\lambda \vec{u}\in U.\end{gathered}

Per verificare che un sottoinsieme non vuoto UU sia un sottospazio vettoriale di VV, basta verificare queste due proprietà: le altre proprietà si ereditano dallo spazio vettoriale VV.

Osservazione. Se 0⃗∉U\vec{0}\notin U, allora UU non è un sottospazio vettoriale di VV.

2.1 Esempi di verifica

Esempio 7. Verificare se U={(ab2b)  |  a,b∈R}⊆R3U=\left\{\begin{pmatrix}a\\b\\2b\end{pmatrix} \;\middle|\;a,b\in\mathbb{R}\right\}\subseteq\mathbb{R}^3 è un sottospazio vettoriale di R3\mathbb{R}^3.

L’inclusione U⊆R3U\subseteq\mathbb{R}^3 non basta, da sola, a garantire che UU sia un sottospazio. Verifichiamo le due proprietà.

  1. Somma. Siano u⃗=(a1b12b1),v⃗=(a2b22b2),a1,a2,b1,b2∈R.\vec{u}=\begin{pmatrix}a_1\\b_1\\2b_1\end{pmatrix}, \qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}a_2\\b_2\\2b_2\end{pmatrix}, \qquad a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}. Allora u⃗+v⃗=(a1+a2b1+b22(b1+b2))=(a3b32b3)∈U,\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\\2(b_1+b_2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_3\\b_3\\2b_3\end{pmatrix}\in U, dove a3=a1+a2∈Ra_3=a_1+a_2\in\mathbb{R} e b3=b1+b2∈Rb_3=b_1+b_2\in\mathbb{R}.

  2. Prodotto per uno scalare. Siano u⃗=(ab2b)∈U\vec{u}=\begin{pmatrix}a\\b\\2b\end{pmatrix}\in U e λ∈R\lambda\in\mathbb{R}. Si ha λu⃗=(λaλb2λb)=(a4b42b4)∈U,\lambda \vec{u}=\begin{pmatrix}\lambda a\\\lambda b\\2\lambda b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_4\\b_4\\2b_4\end{pmatrix}\in U, dove a4=λa∈Ra_4=\lambda a\in\mathbb{R} e b4=λb∈Rb_4=\lambda b\in\mathbb{R}.

Inoltre 0⃗∈U\vec{0}\in U, scegliendo a=b=0a=b=0. Le due proprietà sono verificate, quindi UU è un sottospazio vettoriale di R3\mathbb{R}^3.

Esercizio 8. Verificare se U={(a2ab)  |  a,b∈Q}⊆R3U=\left\{\begin{pmatrix}a\\2a\\b\end{pmatrix} \;\middle|\;a,b\in\mathbb{Q}\right\}\subseteq\mathbb{R}^3 è un sottospazio vettoriale di R3\mathbb{R}^3 sul campo R\mathbb{R}.

Somma. Presi v⃗1=(a12a1b1),v⃗2=(a22a2b2),a1,a2,b1,b2∈Q,\vec{v}_1=\begin{pmatrix}a_1\\2a_1\\b_1\end{pmatrix}, \qquad \vec{v}_2=\begin{pmatrix}a_2\\2a_2\\b_2\end{pmatrix}, \qquad a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{Q}, si ottiene v⃗1+v⃗2=(a1+a22(a1+a2)b1+b2)=(a32a3b3)∈U,\vec{v}_1+\vec{v}_2=\begin{pmatrix}a_1+a_2\\2(a_1+a_2)\\b_1+b_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_3\\2a_3\\b_3\end{pmatrix}\in U, poiché a3=a1+a2∈Qa_3=a_1+a_2\in\mathbb{Q} e b3=b1+b2∈Qb_3=b_1+b_2\in\mathbb{Q}.

Prodotto per uno scalare. La chiusura deve valere per ogni λ∈R\lambda\in\mathbb{R}. Scegliendo v⃗=(120)∈U,λ=2,\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\in U, \qquad\lambda=\sqrt{2}, si ha λv⃗=(2220)∉U,\lambda \vec{v}=\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\2\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}\notin U, poiché 2∉Q\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. Pertanto UU non è un sottospazio vettoriale di R3\mathbb{R}^3 sul campo R\mathbb{R}.

Esempio 9. Consideriamo U={(xy)∈R2  |  x+y=1}.U=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2 \;\middle|\;x+y=1\right\}. Il vettore 0⃗=(00)\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} non appartiene a UU, poiché 0+0≠10+0\neq1. Dunque UU non è un sottospazio vettoriale di R2\mathbb{R}^2.

2.2 Soluzioni di un sistema omogeneo

Proposizione 10. L’insieme SS delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in nn incognite a coefficienti reali è un sottospazio vettoriale di Rn\mathbb{R}^n.

Dimostrazione. Scriviamo l’ii-esima equazione del sistema nella forma ai1x1+ai2x2+⋯+ainxn=0.a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n=0. Vettore nullo. Sostituendo x1=⋯=xn=0x_1=\cdots=x_n=0, ogni equazione diventa 0=00=0. Quindi 0⃗=(0⋮0)∈S.\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\in S.

Chiusura rispetto alla somma. Siano x⃗=(x1⋮xn)∈S,y⃗=(y1⋮yn)∈S.\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\in S, \qquad \vec{y}=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\in S. Per ogni equazione del sistema si ha ai1x1+⋯+ainxn=0,ai1y1+⋯+ainyn=0.\begin{aligned} a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n&=0,\\ a_{i1}y_1+\cdots+a_{in}y_n&=0. \end{aligned} Sostituendo le componenti di x⃗+y⃗=(x1+y1⋮xn+yn)\vec{x}+\vec{y}=\begin{pmatrix}x_1+y_1\\\vdots\\x_n+y_n\end{pmatrix}, si ottiene ai1(x1+y1)+⋯+ain(xn+yn)=(ai1x1+⋯+ainxn)+(ai1y1+⋯+ainyn)=0+0=0.\begin{aligned} &a_{i1}(x_1+y_1)+\cdots+a_{in}(x_n+y_n)\\ &\quad=(a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n) +(a_{i1}y_1+\cdots+a_{in}y_n)\\ &\quad=0+0=0. \end{aligned} Pertanto x⃗+y⃗∈S\vec{x}+\vec{y}\in S.

Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare. Siano x⃗∈S\vec{x}\in S e λ∈R\lambda\in\mathbb{R}. Per ogni equazione, ai1(λx1)+⋯+ain(λxn)=λ(ai1x1+⋯+ainxn)=λ⋅0=0.\begin{aligned} a_{i1}(\lambda x_1)+\cdots+a_{in}(\lambda x_n) &=\lambda(a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n)\\ &=\lambda\cdot0=0. \end{aligned} Quindi λx⃗∈S\lambda \vec{x}\in S. Le proprietà richieste sono verificate. ◻

Osservazione 11 (Sottospazio banale). L’insieme {0⃗}\{\vec{0}\}, contenente soltanto il vettore nullo, è un sottospazio vettoriale, detto sottospazio banale.

Attenzione. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo non è un sottospazio vettoriale di Rn\mathbb{R}^n. Infatti esiste almeno un’equazione ai1x1+⋯+ainxn=bi,bi≠0.a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n=b_i,\qquad b_i\neq0.ai1x1+⋯+ainxn=bi,bi≠0.\begin{gathered}a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n=b_i,\\[0.5em]b_i\neq0.\end{gathered} Il vettore nullo non soddisfa questa equazione; pertanto non appartiene all’insieme delle soluzioni.

3 Combinazioni lineari

Definizione 12. Sia VV uno spazio vettoriale sul campo KK. Dati mm vettori v⃗1,…,v⃗m∈V\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m\in V e mm scalari λ1,…,λm∈K\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in K, il vettore w⃗=λ1v⃗1+λ2v⃗2+⋯+λmv⃗m=∑i=1mλiv⃗i\vec{w}=\lambda_1\vec{v}_1+\lambda_2\vec{v}_2+\cdots+\lambda_m\vec{v}_m =\sum_{i=1}^{m}\lambda_i \vec{v}_i si dice combinazione lineare dei vettori v⃗1,…,v⃗m\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m con coefficienti λ1,…,λm\lambda_1,\ldots,\lambda_m.

Esempio 13. Consideriamo i vettori di R5\mathbb{R}^5 v⃗1=(12046),v⃗2=(41310),v⃗3=(00110)\vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\4\\6\end{pmatrix}, \qquad \vec{v}_2=\begin{pmatrix}4\\1\\3\\1\\0\end{pmatrix}, \qquad \vec{v}_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\\0\end{pmatrix} e i coefficienti λ1=1\lambda_1=1, λ2=2\lambda_2=2, λ3=−1\lambda_3=-1. La combinazione lineare corrispondente è w⃗=v⃗1+2v⃗2−v⃗3=(12046)+2(41310)−(00110)=(94556).\begin{aligned} \vec{w}&=\vec{v}_1+2\vec{v}_2-\vec{v}_3\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\4\\6\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}4\\1\\3\\1\\0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9\\4\\5\\5\\6\end{pmatrix}. \end{aligned}

4 Span: sottospazio generato

Definizione 14. Sia VV uno spazio vettoriale sul campo KK e siano v⃗1,…,v⃗m∈V\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m\in V. Si dice span di v⃗1,…,v⃗m\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m, o sottospazio vettoriale generato da tali vettori, l’insieme di tutte le loro combinazioni lineari: Span(v⃗1,…,v⃗m)={λ1v⃗1+⋯+λmv⃗m  |  λ1,…,λm∈K}.\mathop{\mathrm{Span}}(\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m) =\left\{\lambda_1\vec{v}_1+\cdots+\lambda_m\vec{v}_m \;\middle|\;\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in K\right\}.

Esempio 15. Siano v⃗1=(123),v⃗2=(010).\vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \qquad \vec{v}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}. Allora Span(v⃗1,v⃗2)={λ(123)+β(010)  |  λ,β∈R}.\mathop{\mathrm{Span}}(\vec{v}_1,\vec{v}_2)= \left\{\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \;\middle|\;\lambda,\beta\in\mathbb{R}\right\}.

Proposizione 16. Se v⃗1,…,v⃗m∈V\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m\in V, allora W=Span(v⃗1,…,v⃗m)W=\mathop{\mathrm{Span}}(\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m) è un sottospazio vettoriale di VV.

Dimostrazione. Vettore nullo. Scegliendo tutti i coefficienti uguali a zero, si ottiene 0v⃗1+⋯+0v⃗m=0⃗∈W.0\vec{v}_1+\cdots+0\vec{v}_m=\vec{0}\in W.

Chiusura rispetto alla somma. Siano w⃗1,w⃗2∈W\vec{w}_1,\vec{w}_2\in W. Esistono coefficienti λ1,…,λm∈K\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in K e β1,…,βm∈K\beta_1,\ldots,\beta_m\in K tali che w⃗1=λ1v⃗1+⋯+λmv⃗m,w⃗2=β1v⃗1+⋯+βmv⃗m.\begin{aligned} \vec{w}_1&=\lambda_1\vec{v}_1+\cdots+\lambda_m\vec{v}_m,\\ \vec{w}_2&=\beta_1\vec{v}_1+\cdots+\beta_m\vec{v}_m. \end{aligned} Pertanto w⃗1+w⃗2=(λ1v⃗1+⋯+λmv⃗m)+(β1v⃗1+⋯+βmv⃗m)=(λ1+β1)v⃗1+⋯+(λm+βm)v⃗m=γ1v⃗1+⋯+γmv⃗m∈W,\begin{aligned} \vec{w}_1+\vec{w}_2 &=(\lambda_1\vec{v}_1+\cdots+\lambda_m\vec{v}_m) +(\beta_1\vec{v}_1+\cdots+\beta_m\vec{v}_m)\\ &=(\lambda_1+\beta_1)\vec{v}_1+\cdots+(\lambda_m+\beta_m)\vec{v}_m\\ &=\gamma_1\vec{v}_1+\cdots+\gamma_m\vec{v}_m\in W, \end{aligned} dove γi=λi+βi∈K\gamma_i=\lambda_i+\beta_i\in K per ogni ii.

Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare. Siano w⃗∈W\vec{w}\in W e k∈Kk\in K. Scrivendo w⃗=λ1v⃗1+⋯+λmv⃗m,\vec{w}=\lambda_1\vec{v}_1+\cdots+\lambda_m\vec{v}_m, si ha kw⃗=(kλ1)v⃗1+⋯+(kλm)v⃗m∈W,k\vec{w}=(k\lambda_1)\vec{v}_1+\cdots+(k\lambda_m)\vec{v}_m\in W, poiché kλi∈Kk\lambda_i\in K per ogni ii. Quindi WW è un sottospazio vettoriale di VV. ◻