1 Funzioni limitate e periodiche

1.1 Funzioni limitate

La funzione f(x)=x2f(x)=x^2 non è limitata su R\mathbb R, mentre f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x è limitata: il suo grafico è compreso tra le rette y=−1y=-1 e y=1y=1. La limitatezza dipende dall’insieme sul quale si considera la funzione.

Diagramma TikZ

Definizione 1. Una funzione ff si dice limitata su A⊆Dom⁡(f)A\subseteq\operatorname{Dom}(f) se ∃L>0∀x∈A,∣f(x)∣≤L.\exists L>0\quad\forall x\in A,\qquad |f(x)|\leq L.∃L>0∀x∈A,∣f(x)∣≤L.\begin{gathered}\exists L>0\\[0.5em]\forall x\in A,\\[0.5em]|f(x)|\leq L.\end{gathered} Equivalentemente, −L≤f(x)≤L-L\leq f(x)\leq L per ogni x∈Ax\in A.

1.2 Funzioni periodiche

Definizione 2. Una funzione f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R si dice periodica se esiste T>0T>0 tale che f(x+T)=f(x)∀x∈R.f(x+T)=f(x)\qquad\forall x\in\mathbb R.f(x+T)=f(x)∀x∈R.\begin{gathered}f(x+T)=f(x)\\[0.5em]\forall x\in\mathbb R.\end{gathered}

Il più piccolo valore positivo di TT che soddisfa questa proprietà, quando esiste, è detto periodo fondamentale di ff.

Esempio 1. Si consideri, su [0,2][0,2], la funzione f(x)={x,0≤x≤1,2−x,1<x≤2.f(x)=\begin{cases}x,&0\leq x\leq1,\\2-x,&1<x\leq2.\end{cases} Ripetendo il grafico su tutta R\mathbb R si ottiene una funzione periodica con periodo fondamentale 22. In particolare, f(x+2)=f(x),f(x+4)=f(x).f(x+2)=f(x),\qquad f(x+4)=f(x).f(x+2)=f(x),f(x+4)=f(x).\begin{gathered}f(x+2)=f(x),\\[0.5em]f(x+4)=f(x).\end{gathered}

Diagramma TikZ

2 Composizione e invertibilità

2.1 Composizione di funzioni

Siano f:A→Bf:A\to B e g:B→Cg:B\to C. La funzione composta di ff con gg è g∘f:A→C,(g∘f)(x)=g(f(x)).g\circ f:A\to C,\qquad(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).g∘f:A→C,(g∘f)(x)=g(f(x)).\begin{gathered}g\circ f:A\to C,\\[0.5em](g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).\end{gathered} Si applica prima ff e poi gg.

Diagramma TikZ

Esempio 2. Per f(x)=x2f(x)=x^2 e g(x)=sin⁡xg(x)=\sin x, (g∘f)(x)=sin⁡(x2),(f∘g)(x)=(sin⁡x)2.(g\circ f)(x)=\sin(x^2),\qquad (f\circ g)(x)=(\sin x)^2.(g∘f)(x)=sin⁡(x2),(f∘g)(x)=(sin⁡x)2.\begin{gathered}(g\circ f)(x)=\sin(x^2),\\[0.5em](f\circ g)(x)=(\sin x)^2.\end{gathered} Le due funzioni composte sono diverse. Inoltre (sin⁡x)2(\sin x)^2 non è la stessa funzione di sin⁡(x2)\sin(x^2).

2.2 Il problema della funzione inversa

Data f:A→Bf:A\to B, cerchiamo una funzione g:B→Ag:B\to A che riporti ogni immagine al punto di partenza. Se due elementi distinti x1,x2x_1,x_2 hanno la stessa immagine yy, non si può assegnare a yy contemporaneamente sia x1x_1 sia x2x_2: la corrispondenza inversa non sarebbe una funzione.

Diagramma TikZ

Definizione 3. Una funzione f:A→Bf:A\to B è invertibile se esiste una funzione g:B→Ag:B\to A tale che g(f(x))=x∀x∈A,f(g(y))=y∀y∈B.g(f(x))=x\quad\forall x\in A,\qquad f(g(y))=y\quad\forall y\in B.g(f(x))=x∀x∈A,f(g(y))=y∀y∈B.\begin{gathered}g(f(x))=x\\[0.5em]\forall x\in A,\\[0.5em]f(g(y))=y\\[0.5em]\forall y\in B.\end{gathered} La funzione gg si chiama inversa di ff e si indica con f−1f^{-1}.

Negli appunti si assume che ff sia iniettiva: in tal caso l’inversa è definita sull’immagine f(A)f(A).

3 La funzione inversa: esempi e grafici

3.1 Il quadrato e la radice quadrata

Per f(x)=x2f(x)=x^2, i punti 22 e −2-2 hanno entrambi immagine 44. La corrispondenza 4↦{2,−2}4\mapsto\{2,-2\} è una relazione, ma non una funzione. Perciò ff non è invertibile su tutto R\mathbb R.

Diagramma TikZ

Restringendo il dominio si ottengono invece le due possibilità: funzionedominio e codominioinversaf+(x)=x2[0,+∞)→[0,+∞)f+−1(y)=yf−(x)=x2(−∞,0]→[0,+∞)f−−1(y)=−y\begin{array}{c|c|c} \text{funzione}&\text{dominio e codominio}&\text{inversa}\\ \hline f_+(x)=x^2 &[0,+\infty)\to[0,+\infty)& f_+^{-1}(y)=\sqrt y\\ f_-(x)=x^2 &(-\infty,0]\to[0,+\infty)& f_-^{-1}(y)=-\sqrt y \end{array} La radice 4\sqrt4 è un unico numero, 22; l’equazione x2=4x^2=4 ha invece le due soluzioni x=2x=2 e x=−2x=-2.

Osservazione 1. La funzione inversa non è il reciproco:  f−1(x)≠1/f(x)f^{-1}(x)\ne 1/f(x) in generale. Per il quadrato ristretto a [0,+∞)[0,+\infty), l’inversa è x\sqrt{x}, mentre il reciproco è 1/x21/x^2, definito per x≠0x\ne0.

3.2 Lettura del grafico della funzione inversa

Nella relazione y=x2y=x^2 si ricava x=yx=\sqrt y, se x≥0x\geq0. Scambiando i nomi delle variabili si ottiene y=xy=\sqrt x. I grafici della funzione e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla retta y=xy=x.

Diagramma TikZ

Osservazione 2. Se gg è l’inversa di ff, allora ff è l’inversa di gg: g(f(x))=x,f(g(y))=y.g(f(x))=x,\qquad f(g(y))=y.g(f(x))=x,f(g(y))=y.\begin{gathered}g(f(x))=x,\\[0.5em]f(g(y))=y.\end{gathered} Inoltre x2=∣x∣={x,x≥0,−x,x<0.\sqrt{x^2}=|x|=\begin{cases}x,&x\geq0,\\-x,&x<0.\end{cases} Una funzione strettamente monotona, crescente o decrescente, è invertibile sulla propria immagine.

4 Funzioni trigonometriche inverse

4.1 Coseno e arcocoseno

Il coseno è definito su R\mathbb R, ma è strettamente decrescente su [0,π][0,\pi]. La restrizione a questo intervallo è invertibile: f:[0,π]→[−1,1],f(x)=cos⁡x,f−1:[−1,1]→[0,π],f−1(x)=arccos⁡x.f:[0,\pi]\to[-1,1],\quad f(x)=\cos x, \qquad f^{-1}:[-1,1]\to[0,\pi],\quad f^{-1}(x)=\arccos x.f:[0,π]→[−1,1],f(x)=cos⁡x,f−1:[−1,1]→[0,π],f−1(x)=arccos⁡x.\begin{gathered}f:[0,\pi]\to[-1,1],\\[0.5em]f(x)=\cos x,\\[0.5em]f^{-1}:[-1,1]\to[0,\pi],\\[0.5em]f^{-1}(x)=\arccos x.\end{gathered}

Diagramma TikZ

4.2 Seno e arcoseno

Il seno è definito su R\mathbb R. Per ottenere la sua inversa si considera la restrizione strettamente crescente a [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2]: f:[−π2,π2]→[−1,1],f(x)=sin⁡x,f−1:[−1,1]→[−π2,π2],f−1(x)=arcsin⁡x.f:\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\to[-1,1],\quad f(x)=\sin x, \qquad f^{-1}:[-1,1]\to\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right], \quad f^{-1}(x)=\arcsin x.f:[−π2,π2]→[−1,1],f(x)=sin⁡x,f−1:[−1,1]→[−π2,π2],f−1(x)=arcsin⁡x.\begin{gathered}f:\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\to[-1,1],\\[0.5em]f(x)=\sin x,\\[0.5em]f^{-1}:[-1,1]\to\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right],\\[0.5em]f^{-1}(x)=\arcsin x.\end{gathered}

Diagramma TikZ

La fascia colorata sull’asse xx evidenzia, in ciascun grafico, l’intervallo sul quale si restringe la funzione per definirne l’inversa.

4.3 Tangente e arcotangente

Il grafico della tangente presenta rami separati dalle rette x=π/2+kπx=\pi/2+k\pi, con k∈Zk\in\mathbb Z. Per definirne l’inversa si considera il ramo strettamente crescente su (−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2): f:(−π2,π2)→R,f(x)=tan⁡x,f−1:R→(−π2,π2),f−1(x)=arctan⁡x.f:\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)\to\mathbb R,\quad f(x)=\tan x, \qquad f^{-1}:\mathbb R\to\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right), \quad f^{-1}(x)=\arctan x.f:(−π2,π2)→R,f(x)=tan⁡x,f−1:R→(−π2,π2),f−1(x)=arctan⁡x.\begin{gathered}f:\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)\to\mathbb R,\\[0.5em]f(x)=\tan x,\\[0.5em]f^{-1}:\mathbb R\to\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right),\\[0.5em]f^{-1}(x)=\arctan x.\end{gathered} Il dominio dell’arcotangente è quindi tutto R\mathbb R.

Diagramma TikZ
Diagramma TikZ

5 Introduzione al limite

5.1 Un primo esempio

Nel grafico di f(x)=x2f(x)=x^2, quando xx tende a 22, f(x)f(x) tende a 44. Si scrive lim⁡x→2x2=4.\lim_{x\to 2}x^2=4. Più in generale, la notazione lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x\to x_0}f(x)=L descrive il fatto che, quando xx si avvicina a x0x_0, i valori f(x)f(x) si avvicinano a LL. La distanza tra due numeri reali si esprime mediante il valore assoluto: ∣x−x0∣|x-x_0| per gli argomenti e ∣f(x)−L∣|f(x)-L| per i valori della funzione.

5.2 Limite finito in un punto

Definizione 4. Siano x0,L∈Rx_0,L\in\mathbb R e sia x0x_0 un punto di accumulazione del dominio di ff. Si scrive lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x\to x_0}f(x)=L se ∀ε>0∃δ>0∀x∈Dom⁡(f),0<∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall x\in\operatorname{Dom}(f), \qquad 0<|x-x_0|<\delta\implies |f(x)-L|<\varepsilon.∀ε>0∃δ>0∀x∈Dom⁡(f),0<∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε.\begin{gathered}\forall\varepsilon>0\\[0.5em]\exists\delta>0\\[0.5em]\forall x\in\operatorname{Dom}(f),\\[0.5em]0<|x-x_0|<\delta\implies |f(x)-L|<\varepsilon.\end{gathered}

La tolleranza ε\varepsilon sui valori della funzione può essere scelta arbitrariamente piccola. Si deve allora trovare un’ampiezza δ\delta tale che, se xx è abbastanza vicino a x0x_0, ma diverso da x0x_0, valga L−ε<f(x)<L+ε.L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon.

Diagramma TikZ

5.3 Limite finito per x→+∞x\to+\infty

L’esempio degli appunti è f(x)=1/x+2f(x)=1/x+2, per cui lim⁡x→+∞(1x+2)=2.\lim_{x\to +\infty}\left(\frac 1x+2\right)=2.

Definizione 5. Sia il dominio di ff illimitato superiormente. Si scrive lim⁡x→+∞f(x)=L∈R\lim_{x\to +\infty}f(x)=L\in\mathbb R se ∀ε>0∃M>0∀x∈Dom⁡(f),x>M  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad\exists M>0\quad\forall x\in\operatorname{Dom}(f), \qquad x>M\implies |f(x)-L|<\varepsilon.∀ε>0∃M>0∀x∈Dom⁡(f),x>M  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε.\begin{gathered}\forall\varepsilon>0\\[0.5em]\exists M>0\\[0.5em]\forall x\in\operatorname{Dom}(f),\\[0.5em]x>M\implies |f(x)-L|<\varepsilon.\end{gathered}

Diagramma TikZ

6 Limiti: esempi e definizioni

6.1 Un esempio in cui il limite non esiste

Si consideri la funzione f(x)={2,x≥1,−3,x<1.f(x)=\begin{cases}2,&x\geq 1,\\-3,&x<1.\end{cases} Qualunque sia l’ampiezza dell’intorno di 11, a sinistra di 11 la funzione vale −3-3, mentre a destra vale 22. I due limiti laterali sono diversi: lim⁡x→1−f(x)=−3,lim⁡x→1+f(x)=2.\lim_{x\to 1^-}f(x)=-3,\qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=2.lim⁡x→1−f(x)=−3,lim⁡x→1+f(x)=2.\begin{gathered}\lim_{x\to 1^-}f(x)=-3,\\[0.5em]\lim_{x\to 1^+}f(x)=2.\end{gathered} Pertanto non esiste lim⁡x→1f(x)\lim_{x\to 1}f(x). In particolare, scegliendo una fascia sufficientemente stretta attorno a 22, non tutti i valori di ff in un intorno di 11 appartengono a tale fascia.

Diagramma TikZ

6.2 Limite infinito in un punto

Si assume che x0x_0 sia un punto di accumulazione del dominio di ff. La notazione lim⁡x→x0f(x)=+∞\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty non indica un limite reale: +∞+\infty non è un numero reale.

Definizione 6. Si scrive lim⁡x→x0f(x)=+∞\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty se ∀M>0∃δ>0∀x∈Dom⁡(f),0<∣x−x0∣<δ  ⟹  f(x)>M.\forall M>0\quad \exists\delta>0\quad \forall x\in\operatorname{Dom}(f), \qquad 0<|x-x_0|<\delta\implies f(x)>M.∀M>0∃δ>0∀x∈Dom⁡(f),0<∣x−x0∣<δ  ⟹  f(x)>M.\begin{gathered}\forall M>0\\[0.5em]\exists\delta>0\\[0.5em]\forall x\in\operatorname{Dom}(f),\\[0.5em]0<|x-x_0|<\delta\implies f(x)>M.\end{gathered}

Diagramma TikZ

6.3 Limite destro finito

Definizione 7. Siano x0,L∈Rx_0,L\in\mathbb R e sia x0x_0 un punto di accumulazione da destra del dominio di ff. Si dice che LL è il limite destro di ff per x→x0x\to x_0, e si scrive lim⁡x→x0+f(x)=L\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, se ∀ε>0∃δ>0∀x∈Dom⁡(f),x0<x<x0+δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall x\in\operatorname{Dom}(f), \qquad x_0<x<x_0+\delta\implies |f(x)-L|<\varepsilon.∀ε>0∃δ>0∀x∈Dom⁡(f),x0<x<x0+δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε.\begin{gathered}\forall\varepsilon>0\\[0.5em]\exists\delta>0\\[0.5em]\forall x\in\operatorname{Dom}(f),\\[0.5em]x_0<x<x_0+\delta\implies |f(x)-L|<\varepsilon.\end{gathered}

7 Teoremi sui limiti

Teorema 1 (Unicità del limite). Se lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x\to x_0}f(x)=L, allora il limite LL è unico.

Dimostrazione. Consideriamo il caso x0∈Rx_0\in\mathbb R e L∈RL\in\mathbb R. Supponiamo per assurdo che ff abbia due limiti finiti distinti L1L_1 e L2L_2. Per ogni ε>0\varepsilon>0, esistono δ1,δ2>0\delta_1,\delta_2>0 tali che, per x∈Dom⁡(f)x\in\operatorname{Dom}(f), 0<∣x−x0∣<δ1  ⟹  ∣f(x)−L1∣<ε,0<∣x−x0∣<δ2  ⟹  ∣f(x)−L2∣<ε.\begin{aligned} 0<|x-x_0|<\delta_1&\implies |f(x)-L_1|<\varepsilon,\\ 0<|x-x_0|<\delta_2&\implies |f(x)-L_2|<\varepsilon. \end{aligned} Ponendo δ=min⁡{δ1,δ2}\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}, entrambe le disuguaglianze valgono se 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta. Per la disuguaglianza triangolare, 0≤∣L1−L2∣=∣L1−f(x)+f(x)−L2∣≤∣L1−f(x)∣+∣f(x)−L2∣<2ε.\begin{aligned} 0\leq |L_1-L_2| &=|L_1-f(x)+f(x)-L_2|\\ &\leq |L_1-f(x)|+|f(x)-L_2|<2\varepsilon. \end{aligned} Poiché x0x_0 è un punto di accumulazione del dominio, un tale xx esiste. La stima vale per ogni ε>0\varepsilon>0; scegliendo ε=∣L1−L2∣/3\varepsilon=|L_1-L_2|/3, si ottiene una contraddizione. Pertanto ∣L1−L2∣=0|L_1-L_2|=0, ossia L1=L2L_1=L_2. ◻

Teorema 2 (Dei carabinieri). Supponiamo che esista r>0r>0 tale che ∀x∈D:0<∣x−x0∣<r  ⟹  h(x)≤f(x)≤g(x).\forall x\in D:\quad 0<|x-x_0|<r\implies h(x)\leq f(x)\leq g(x).∀x∈D:0<∣x−x0∣<r  ⟹  h(x)≤f(x)≤g(x).\begin{gathered}\forall x\in D:\\[0.5em]0<|x-x_0|<r\implies h(x)\leq f(x)\leq g(x).\end{gathered} Qui DD è il dominio comune delle tre funzioni e x0x_0 è un suo punto di accumulazione. Se lim⁡x→x0h(x)=lim⁡x→x0g(x)=L\lim_{x\to x_0}h(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=L, allora lim⁡x→x0f(x)=L.\lim_{x\to x_0}f(x)=L.

Diagramma TikZ

Teorema 3 (Permanenza del segno). Se lim⁡x→x0f(x)=L>0\lim_{x\to x_0}f(x)=L>0, allora esiste δ>0\delta>0 tale che ∀x∈Dom⁡(f):0<∣x−x0∣<δ  ⟹  f(x)>0.\forall x\in\operatorname{Dom}(f):\quad 0<|x-x_0|<\delta\implies f(x)>0.∀x∈Dom⁡(f):0<∣x−x0∣<δ  ⟹  f(x)>0.\begin{gathered}\forall x\in\operatorname{Dom}(f):\\[0.5em]0<|x-x_0|<\delta\implies f(x)>0.\end{gathered}

Esempio 3. La funzione f(x)=1/xf(x)=1/x è positiva per ogni x>0x>0, ma lim⁡x→+∞1x=0.\lim_{x\to +\infty}\frac 1x=0. Dunque la positività della funzione non implica che il limite sia strettamente positivo.

8 Operazioni sui limiti e forme indeterminate

8.1 Somma di limiti finiti

Osservazione 3. Se lim⁡x→x0f(x)=L1∈R\lim_{x\to x_0}f(x)=L_1\in\mathbb R e lim⁡x→x0g(x)=L2∈R\lim_{x\to x_0}g(x)=L_2\in\mathbb R, allora lim⁡x→x0(f(x)+g(x))=L1+L2.\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L_1+L_2.

Se invece f(x)→+∞f(x)\to+\infty e g(x)→−∞g(x)\to-\infty, la somma presenta la forma indeterminata +∞−∞+\infty-\infty. Non si può trattare questa espressione con le ordinarie operazioni algebriche.

8.2 Differenza di polinomi

Esempio 4. Siano f(x)=x2f(x)=x^2 e g(x)=xg(x)=x. Per x→+∞x\to+\infty, entrambe tendono a +∞+\infty, ma la loro differenza soddisfa lim⁡x→+∞(x2−x)=lim⁡x→+∞x2(1−1x)=+∞.\lim_{x\to +\infty}(x^2-x) =\lim_{x\to +\infty}x^2\left(1-\frac 1x\right)=+\infty. Si raccoglie il termine di grado massimo: x2→+∞x^2\to+\infty e 1−1/x→11-1/x\to1.

Diagramma TikZ

Analogamente, lim⁡x→+∞(x2−4x5)=lim⁡x→+∞x5(1x3−4)=−∞,\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}(x^2-4x^5) &=\lim_{x\to +\infty}x^5\left(\frac 1{x^3}-4\right)\\ &=-\infty, \end{aligned} poiché x5→+∞x^5\to+\infty e 1/x3−4→−41/x^3-4\to-4. Il termine di grado massimo determina l’andamento del polinomio all’infinito.

8.3 Prodotto e quoziente di limiti finiti

Se lim⁡x→x0f(x)=L1∈R\lim_{x\to x_0}f(x)=L_1\in\mathbb R e lim⁡x→x0g(x)=L2∈R\lim_{x\to x_0}g(x)=L_2\in\mathbb R, allora lim⁡x→x0(f(x)g(x))=L1L2.\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=L_1L_2. Se inoltre L2≠0L_2\ne0, si ha lim⁡x→x0f(x)g(x)=L1L2.\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}.

8.4 Quozienti di polinomi all’infinito

Il primo esempio presenta la forma indeterminata ∞/∞\infty/\infty: lim⁡x→+∞x+3x21+2x+x3=lim⁡x→+∞x2(1x+3)x3(1x3+2x2+1)=lim⁡x→+∞1x1x+31x3+2x2+1=0.\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\frac{x+3x^2}{1+2x+x^3} &=\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2\left(\frac 1x+3\right)} {x^3\left(\frac 1{x^3}+\frac 2{x^2}+1\right)}\\ &=\lim_{x\to +\infty}\frac 1x \frac{\frac 1x+3}{\frac 1{x^3}+\frac 2{x^2}+1}=0. \end{aligned} Nel secondo esempio, lim⁡x→+∞x2+3x+1x+2=lim⁡x→+∞x2(1+3x+1x2)x(1+2x)=lim⁡x→+∞x1+3x+1x21+2x=+∞.\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+3x+1}{x+2} &=\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2\left(1+\frac 3x+\frac 1{x^2}\right)} {x\left(1+\frac 2x\right)}\\ &=\lim_{x\to +\infty}x \frac{1+\frac 3x+\frac 1{x^2}}{1+\frac 2x}=+\infty. \end{aligned}

8.5 Un quoziente con limiti laterali diversi

Consideriamo lim⁡x→0x+x2−3x−5x2+2x.\lim_{x\to 0}\frac{x+x^2-3x-5}{x^2+2x}.

Il numeratore tende a −5-5, mentre il denominatore è x(x+2)x(x+2) e tende a zero. Vicino a 00, il fattore x+2x+2 è positivo; il segno del denominatore coincide quindi con quello di xx. Ne segue che lim⁡x→0+x+x2−3x−5x(x+2)=−∞,lim⁡x→0−x+x2−3x−5x(x+2)=+∞.\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+}\frac{x+x^2-3x-5}{x(x+2)}&=-\infty,\\ \lim_{x\to 0^-}\frac{x+x^2-3x-5}{x(x+2)}&=+\infty. \end{aligned} Lo stesso comportamento laterale compare nell’espressione −5/(2x)-5/(2x): lim⁡x→0+−52x=−∞,lim⁡x→0−−52x=+∞.\lim_{x\to 0^+}\frac{-5}{2x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{-5}{2x}=+\infty.lim⁡x→0+−52x=−∞,lim⁡x→0−−52x=+∞.\begin{gathered}\lim_{x\to 0^+}\frac{-5}{2x}=-\infty,\\[0.5em]\lim_{x\to 0^-}\frac{-5}{2x}=+\infty.\end{gathered} Poiché i due limiti laterali sono diversi, il limite bilatero non esiste.

8.6 Il limite del rapporto tra logaritmo e variabile

Per a>1a>1 si ha lim⁡x→+∞log⁡axx=0.\boxed{\lim_{x\to +\infty}\frac{\log_a x}{x}=0.} Il solo fatto che il grafico di y=xy=x si trovi, per xx sufficientemente grande, sopra quello del logaritmo non basta a dimostrare questo limite.

Diagramma TikZ

Dimostrazione. Per x>1x>1, usando x=(x)2x=(\sqrt{x})^2, si ottiene 0<log⁡axx=2log⁡axx x=2x log⁡axx.0<\frac{\log_a x}{x} =\frac{2\log_a\sqrt{x}}{\sqrt{x}\,\sqrt{x}} =\frac{2}{\sqrt{x}}\, \frac{\log_a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}. Si usa ora la disuguaglianza ln⁡t<t\ln t<t per t>0t>0. Poiché log⁡at=ln⁡t/ln⁡a\log_a t=\ln t/\ln a e ln⁡a>0\ln a>0, segue che 0<log⁡axx<1ln⁡a,0<log⁡axx<2ln⁡a x.0<\frac{\log_a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}<\frac1{\ln a}, \qquad 0<\frac{\log_a x}{x}<\frac{2}{\ln a\,\sqrt{x}}.0<log⁡axx<1ln⁡a,0<log⁡axx<2ln⁡a x.\begin{gathered}0<\frac{\log_a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}<\frac1{\ln a},\\[0.5em]0<\frac{\log_a x}{x}<\frac{2}{\ln a\,\sqrt{x}}.\end{gathered} Il termine a destra tende a zero per x→+∞x\to+\infty. Per il teorema dei carabinieri, anche log⁡ax/x\log_a x/x tende a zero. ◻