Limiti e successioni

Esempio 1. Per $a>1$, $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\log_a x}{a^x} = \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{\log_a x}{x}\cdot\frac{x}{a^x}\right) =0.$$

Esempio 2. Si ha $$\lim_{x\to+\infty}(x^2-x)=+\infty.$$ Per calcolare il limite della differenza $\sqrt{x^2-x}-x$, si razionalizza: $$\begin{aligned} \sqrt{x^2-x}-x &=\frac{(\sqrt{x^2-x}-x)(\sqrt{x^2-x}+x)} {\sqrt{x^2-x}+x}\\ &=\frac{x^2-x-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x}\\ &=\frac{-x}{x\sqrt{1-\frac1x}+x}\\ &=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac1x}+1}. \end{aligned}$$ Qui $x>0$, poiché si considera $x\to+\infty$. Di conseguenza,

Metodo improduttivo. Il solo raccoglimento $$\sqrt{x^2-x}-x =x\left(\sqrt{1-\frac1x}-1\right)$$ conduce alla forma indeterminata $\infty\cdot0$.

Esempio 3. Il limite fondamentale è

Per $0<x<\frac{\pi}{2}$, con $x$ espresso in radianti, $$\sin x\le x\le\tan x.$$ Dividendo e riordinando, si ottiene $$\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1.$$ Poiché $\cos x\to1$ per $x\to0$, il teorema dei carabinieri fornisce il limite destro. La funzione $\sin x/x$ è pari, quindi il limite vale anche da sinistra.

La relazione va letta in radianti: ad esempio, per $x=\frac{\pi}{4}$, $$\frac{\sqrt2}{2}\le\frac{\pi}{4}\le1.$$

Esempio 4. Per $x>0$, $$-\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x.$$ Poiché entrambi gli estremi tendono a zero,

Esempio 5. I limiti $$\lim_{x\to0}\sin\frac1x, \qquad \lim_{x\to0^+}\sin\frac1x$$$$\begin{gathered}\lim_{x\to0}\sin\frac1x,\\[0.5em]\lim_{x\to0^+}\sin\frac1x\end{gathered}$$ non esistono. Anche $\lim_{x\to0}1/x$ non esiste, mentre $\lim_{x\to0^+}1/x=+\infty$.

Esempio 6. Dalla disuguaglianza $$-1\le\sin\frac1x\le1$$ si ricava $$-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|.$$ Per il teorema dei carabinieri,

Il grafico di $\sin(1/x)$, definita per $x\ne0$, è il seguente.

Esempio 7. Si calcola il limite $$\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}.$$ Razionalizzando, $$\begin{aligned} \frac{\cos x-1}{x^2} &=\frac{(\cos x-1)(\cos x+1)}{x^2(\cos x+1)}\\ &=\frac{\cos^2x-1}{x^2(\cos x+1)}\\ &=-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\frac1{\cos x+1}. \end{aligned}$$ Pertanto

Esempio 9. Per la successione $a_n=1/n$, il limite è zero. Scegliendo, ad esempio, $$\varepsilon=\frac1{1\,000\,000},$$ si ha $$\left|\frac1n-0\right|<\frac1{1\,000\,000} \quad\Longleftrightarrow\quad n>1\,000\,000.$$$$\begin{gathered}\left|\frac1n-0\right|<\frac1{1\,000\,000}\\[0.5em]\Longleftrightarrow\\[0.5em]n>1\,000\,000.\end{gathered}$$ Si può quindi scegliere $k=1\,000\,000$.

Esempio 11. La successione $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ è strettamente crescente e limitata: $$2\le a_n<3.$$ Il suo limite si indica con $e$ ed è detto numero di Nepero:

Le corrispondenti forme per le funzioni sono $$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e, \qquad \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e,$$$$\begin{gathered}\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e,\\[0.5em]\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e,\end{gathered}$$ e, ponendo $y=1/x$, $$\lim_{y\to0}(1+y)^{1/y}=e.$$

Esempio 14. Si considera $$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)^{x^2},$$ che presenta la forma indeterminata $1^\infty$. Si riscrive $$\left(1+\frac1x\right)^{x^2} =\left[\left(1+\frac1x\right)^x\right]^x.$$ La base tra parentesi tende a $e>1$, mentre $x\to+\infty$. Quindi

Esempio 15. Si riscrive $$\left(1+\frac1{x^2}\right)^x =\left[\left(1+\frac1{x^2}\right)^{x^2}\right]^{1/x}.$$ La base tende a $e$ e l’esponente tende a zero; pertanto

Esempio 16. Ponendo $y=x/2$, si ha $y\to+\infty$ e $$\left(1+\frac2x\right)^x =\left(1+\frac1y\right)^{2y} =\left[\left(1+\frac1y\right)^y\right]^2.$$ Quindi

Esempio 17. Il limite $\lim_{n\to+\infty}n^{1/n}$ presenta la forma indeterminata $\infty^0$. In queste note $\log$ indica il logaritmo naturale: $$\log=\ln,\qquad \log\ne\log_{10}.$$$$\begin{gathered}\log=\ln,\\[0.5em]\log\ne\log_{10}.\end{gathered}$$ Per $c>0$ vale $c=e^{\log c}$; dunque $$n^{1/n} =e^{\log(n^{1/n})} =e^{\frac{\log n}{n}}.$$ Poiché $\log n/n\to0$,

Esempio 19. Ponendo $t=3x$, si ha $t\to0$ quando $x\to0$: $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}x =3\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x} =3\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t} =3.$$

Esempio 20. Per $x>-1$ e $x\ne0$, $$\frac{\log(1+x)}x =\log\left((1+x)^{1/x}\right).$$ Poiché $(1+x)^{1/x}\to e$,

Esempio 21. Ponendo $y=e^x-1$, si ottengono $y\to0$ e $x=\log(1+y)$. Di conseguenza,

Esempio 22. Il limite $\lim_{x\to0^+}x\log x$ presenta la forma indeterminata $0\cdot(-\infty)$. Ponendo $y=1/x$, si ha $y\to+\infty$ e $$x\log x =\frac1y\log\frac1y =-\frac{\log y}{y}.$$ Pertanto